В теории функций некоторое комплексное число $z=x+y\cdot i$, где $x,y\in R$, рассматривают в качестве комплексной переменной.
Каждое значение комплексного переменного $z$ можно изобразить на комплексной плоскости $xOy$ с помощью точки $(x;y)$. Следовательно, каждому значению комплексного переменного ставится в соответствие точка комплексной плоскости.
Комплексная величина $w$ называется функцией комплексного переменного $z$, если каждому значению комплексного переменного $z$ соответствует определенное значение комплексной величины $w$. Обозначение: $w=f(z)$.
Среди функций комплексного переменного рассматривают те же функции, что и для действительных переменных, в частности, показательную функцию и т.д.
Функция комплексного переменного, задаваемая формулой $w=e^{z} $, называется показательной функцией комплексного переменного.
Каждое значение показательной функции $w=e^{z} $ определяется следующим образом:
Следовательно,
Вычислить значение показательной функции комплексного переменного $w=e^{z} $ при:
1) $z=2+\frac{\pi }{4} \cdot i$; 2) $z=0+\pi \cdot i$; 3) $z=4+0\cdot i$.
Решение:
Значение определяем по формуле:
1) Для $z=2+\frac{\pi }{4} \cdot i$ получаем
2) Для $z=0+\pi \cdot i$ получаем
3) Для $z=4+0\cdot i$ получаем
Свойства показательной функции комплексного переменного $w=e^{z} $ аналогичны свойствам показательной функции действительного переменного $y=e^{x} $.
Свойства:
1) $e^{z_{1} +z_{2} } =e^{z_{1} } \cdot e^{z_{2} } $ ($z_{1} =x_{1} +y_{1} \cdot i,\, \, z_{2} =x_{2} +y_{2} \cdot i$);
2) $e^{z_{1} -z_{2} } =\frac{e^{z_{1} } }{e^{z_{2} } } $ ($z_{1} =x_{1} +y_{1} \cdot i,\, \, z_{2} =x_{2} +y_{2} \cdot i$);
3) $(e^{z} )^{m} =e^{mz} \, \, \, (m\in Z,\, \, z=x+y\cdot i)$;
4) $e^{z+2\pi i} =e^{z} \, \, \, (z=x+y\cdot i)$.
Показательная функция комплексного переменного $w=e^{z} $ является периодической функцией, период которой равен $2\pi $.
1) $e^{3+2\pi i} \cdot e^{1+0\cdot i} $; 2) $e^{0+\frac{\pi }{2} i} \cdot e^{1+\pi \cdot i} $; 3) $\frac{e^{2+\pi \cdot i} }{e^{1+\pi \cdot i} } $; 4) $\left(e^{2+\frac{\pi }{4} i} \right)^{2} $.
Решение:
При выполнении вычислений воспользуемся свойствами 1)-3) показательной функции комплексного переменного.
1) $e^{3+2\pi i} \cdot e^{1+0\cdot i} =e^{(3+2\pi i)+(1+0\cdot i)} =e^{4+2\pi \cdot i} =e^{4} \cdot \left(\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi \right)=e^{4} +0\cdot i=e^{4} $;
2) $e^{0+\frac{\pi }{2} i} \cdot e^{1+\pi \cdot i} =e^{(0+\frac{\pi }{2} i)+(1+\pi \cdot i)} =e^{1+\frac{3\pi }{2} \cdot i} =e^{1} \cdot \left(\cos \frac{3\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{3\pi }{2} \right)=e(0-i)=0-e\cdot i=-e\cdot i$;
3) $\frac{e^{2+\pi \cdot i} }{e^{1+\pi \cdot i} } =e^{(2+\pi \cdot i)-(1+\pi \cdot i)} =e^{1+0\cdot i} =e^{1} \cdot (\cos 0+i\cdot \sin 0)=e(1+0i)=e+0\cdot i=e$;
4) $\left(e^{2+\frac{\pi }{4} i} \right)^{2} =e^{2\cdot \left(2+\frac{\pi }{4} i\right)} =e^{4+\frac{\pi }{2} i} =e^{4} \cdot \left(\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} \right)=e^{4} \cdot (0+1\cdot i)=0+e^{4} \cdot i=e^{4} \cdot i$.
Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w=u(x)+v(x)\cdot i$, где $u(x),\, \, \, v(x)$ - действительные функции вещественного переменного.
Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.
Для составляющих функции $u(x),\, \, \, v(x)$ рассмотрим два случая.
Функции $u(x),\, \, \, v(x)$ имеют пределы в точке $x_{0} $, т.е.
$\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } u(x)=u(x_{0} )$ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} } v(x)=v(x_{0} )$.
Величина $w_{0} $, которая определяется выражением $u(x_{0} )+i\cdot v(x_{0} )$, называется пределом комплексной функции $w$ действительного переменного.
Вычислить предел комплексного переменного $w$ при $x\to \infty $ или сделать вывод о том, что предел не существует:
1) $w=\frac{2x-1}{x} +e^{1/x} \cdot i$; 2) $w=\frac{x^{2} }{x+1} +\frac{1}{x} \cdot i$.
Решение:
1) Рассмотрим составляющие функции $w=\frac{2x-1}{x} +e^{1/x} \cdot i$,
т.е. $u(x)=\frac{2x-1}{x} ,\, \, \, v(x)=e^{\frac{1}{x} } $.
Вычислим пределы функций $u(x),\, \, \, v(x)$:
Пределы обоих составляющих существуют, следовательно, искомый предел равен
2) Рассмотрим составляющие функции $w=\frac{x^{2} }{x+1} +\frac{1}{x} \cdot i$,
т.е. $u(x)=\frac{x^{2} }{x+1} ,\, \, \, v(x)=\frac{1}{x} $.
Вычислим пределы функций $u(x),\, \, \, v(x)$:
Предел составляющей $u(x)$ при $x\to \infty $ не существуют, следовательно, предел рассматриваемой функции не существует.
Функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.
Выражение $w_{x} '=u'(x)+i\cdot v'(x)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу.
Для функции $w=e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x} $ производная вычисляется по формуле
Обозначим $\alpha +\beta \cdot i$ через $k$. Формула перепишется следующим образом:
Вторая производная вычисляется по формуле
Производная порядка $n$ вычисляется по формуле
Вычислить производные комплексной функции действительного переменного:
1) $w=(3x+2)+(x^{3} +2x)\cdot i$; 2) $w=(x+e^{x} )+(3x^{2} +\ln x)\cdot i$.
Решение:
Для вычисления производной воспользуемся следующей формулой:
1) $w_{x} '=(3x+2)'+(x^{3} +2x)'\cdot i=3+(3x^{2} +2)\cdot i$;
2) $w_{x} '=(x+e^{x} )'+(3x^{2} +\ln x)'\cdot i=1+e^{x} +\left(6x+\frac{1}{x} \right)\cdot i$.
Вычислить производные первого и второго порядка показательной функции:
1) $w=e^{(3+4\cdot i)\cdot x} $; 2) $w=e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} $.
Решение:
Для вычисления производных воспользуемся соответствующими формулами:
$w'=(\alpha +\beta \cdot i)\cdot e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x} $ и $w'=(\alpha +\beta \cdot i)^{2} \cdot e^{(\alpha +\beta \cdot i)\cdot x} $.
1) Для функции $w=e^{(3+4\cdot i)\cdot x} $ получаем:
2) Для функции $w=e^{(2+\pi \cdot i)\cdot x} $ получаем:
