Числовые и функциональные ряды

Тема. Числовые и функциональные ряды ЛЕКЦИЯ 1. 1. Основные определения. Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма слагаемых вида:  u1  u2  ...  un  ...   un (1) n 1 un – общий элемент ряда, u n   , n  1,2,3,. 4n  2 : а) выписать общий n 1 n 1 7  Пример 1. Для заданного числового ряда  элемент un; б) найти и15 ; и113 ; в) «развернуть» ряд. Решение: 4n  2 7 n 1 4  15  2 58 4  113  2 450 б) и15  ;  и   114 . 113 7151 716 7113 1 7 а) un   4n  2 - такая запись ряда соответствует записи ряда в n 1 n 1 7 «свернутом» виде (правая часть формулы (1)). Чтобы «развернуть» ряд, нужно последовательно вместо n подставить значения п  1,2,3, и записать ряд в виде бесконечной суммы слагаемых (левая часть формулы (1)). Достаточно выписать первые три элемента ряда и поставить многоточие: в) Рассмотрим ряд   4n  2 4 1  2 4  2  2 4  3  2 2 6 10  u  u  u  ...          1 2 3 n1 11 21 31 49 343 2401 7 7 7 7 n1  Определение. Частичной суммой ряда называется сумма первых элементов ряда n  1,2,3, n Sn  u1  u2  ...  un (2) Например, для ряда (1) последовательность частичных сумм S1, S2, …,Sn, … будет иметь вид: S1  u1 ; S 2  u1  u 2 ; S 3  u1  u 2  u3 ; S 4  u1  u 2  u3  u 4 ; и т.д. ………………………….. 2n  5 найти: а) S1 ; б) S 2 ; в) S 3 . n n 1 3  Пример 2. Для заданного числового ряда  Решение: Воспользуемся формулой (2). Выпишем u n  2n  5 . 3n 2 1  5 7  3 31 7 22  5 7 9 7 10 б) S 2  u1  u2       1  3 3 9 3 3 32 7 2  3  5 10 11 90  11 101 в) S3  u1  u2  u3   1  .     3 3 27 27 27 33 а) S1  u1   2n Пример 3. Для заданного числового ряда  найти S 4 . 2 n1 n  n  2 2n Решение: Воспользуемся формулой (2). Выпишем u n  . n  n2  2 21 22 23 24 S 4  u1  u2  u3  u4      1  12  2 2  2 2  2 3  32  2 4  4 2  2 2 4 8 16 2 1 8 2 8 2 99  24  22 145 .         1    3 12 33 72 3 3 33 9 33 9 99 99              Определение. Ряд u1  u2  ...  un  ...   un называется сходящимся, если n1 сходится последовательность его частных сумм (т.е. существует конечный lim S n  S ). В этом случае суммой сходящегося ряда называется предел п последовательности его частных сумм S: Sn  S lim п (3)  S   un n 1 Определение. Если последовательность частных сумм ряда не имеет предела, или ее предел равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся. Такой ряд суммы НЕ ИМЕЕТ. Пример 4. Выяснить сходимость следующих рядов, воспользовавшись определением сходящегося/расходящегося ряда.  а)  0  0  0  0   - самый простейший пример сходящегося числового n1 ряда!!! Действительно, сходится и его сумма S  0 . б) S n  lim 0  0    0  0 , lim п п следовательно, ряд  9  9  9  9   n 1   п    п раз суммируем  Найдем lim S n  lim  9  9    9   lim 9n   9     . Следовательно, данный п ряд расходится, он не имеет суммы. п Если вместо числа «9» общим элементом ряда будет любое действительное число с  0 , то lim S n  lim с  с    с   lim сn  с     . Таким образом, п п п мы можем сделать вывод: Ряд вида сходится при C  0   С , где С  const , C   :  расходится при C  0  n 1 в)    1n  1  1  1  1     1n   n 1 Тогда     1, n  нечетное  n   lim S n не lim S n  lim  1  1  1  1     1  lim   п п п  0, n  четное  п существует). Следовательно, данный ряд расходится, он не имеет суммы. Особые ряды 1. Ряд геометрической прогрессии – ряд вида:   a  q n1  a  a  q  a  q 2  a  q 3    a  q n1  , (4) n 1 где a  0 ; q  0 ; q  1. Сходимость ряда геометрической прогрессии (4): Ряд  a  q n 1 n 1 a  при q  1 сходится, S  1  q : при q  1 расходится  (5) Замечание. В общем виде элементы геометрической прогрессии обозначаются b1 , b2 , b3 ,, bn ,, при этом bn  b1  q n1 , q - знаменатель геометрической прогрессии. В случае, если q  1 , прогрессия называется бесконечно убывающей. Сумма элементов бесконечно убывающей геометрической прогрессии считается по формуле: S  Примеры геометрических знаменателем q  1 ): b1 1 q прогрессий (бесконечно убывающие 1 1 1 1 1 1  1 1 1   2  а)  ; ; ; , q   , q     1 , b1   ; S  3 2 2 3 2 2  1  2 4 8  1   2  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1  б)  ; ; ; , q  , q    1, b1  ; S  2  2  1 . 1 1 2 2 2 2 2 4 8  1 2 2  1 2  со Пример 5. 5 А)    n 1 7   n 1 1 5 25 125    7 49 343 Нетрудно заметить, что перед нами ряд геометрической прогрессии со 5 5 знаменателем q    1, следовательно, он сходится и его сумма 7 7 b 1 1 7 S 1     3,5 . Следовательно, 1 q 1 5 2 2 7 7  5   7  n 1 n 1 1 5 25 125      3,5 . 7 49 343 Б) 53  56  59  512   Данный ряд представлен в «развернутом» виде. Это ряд геометрической q  5 3 . b1  53 , прогрессии, в которой а Действительно,     b2  b1   53  53   53  56 ;   b3  b1   53 2    53   53 2  59 и т.д. Так как q   53  125  1 ряд расходится. Такой ряд суммы не имеет.  53п 53 5 6 59 53 125 53 125 В)  п1  2  3  4   ,  b1  2  ;q   1, 36 6 6 6 6 6 6 n 1 6  ряд расходится. 6 п1 6 2 63 6 4 6 2 36 6 6 Г)  3п  3  6  9   ,  b1  3  ;q 3   1 ,  ряд сходится 5 5 5 5 125 5 125 n 1 5 36 36 b 36 и его сумма равна: S  1  125  125  119 119 1 q 1 6 125 125  2. Ряд Дирихле – ряд вида:  1 1 1  n p 1  2 р  3р  , p  0. n 1 Ряд  1 при p  1 сходится  n p : при 0  p  1 расходится n 1 Например, ряды Дирихле:  (6)   1 1 (n=5>1, сл-но, ряд сходится),  5 56 n 1n n 1n  (n=5/6<1, сл-но, ряд расходится) и т.д. При p  1 получаем гармонический ряд (он РАСХОДИТСЯ!!!):  1 1 1 1  1    2 3 п n1 n  (7) Замечание. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Признаки сходимости рядов (рассмотрим в рамках нашей лекции только 4 признака сходимости рядов) 1. Необходимое условие (необходимый признак) сходимости ряда.  u n un  0 . lim п n 1 Однако, это условие не является достаточным, т.е. если lim u n  0 , то из этого п Если ряд НЕ СЛЕДУЕТ сходимость ряда сходится, то  u n  1 (7) n1n Например, гармонический ряд  n 1 является расходящимся, хотя его общий элемент стремится к нулю: 1 1 un  lim   0 . lim  п п п На практике данный признак работает как достаточный расходимости ряда: Если  u n  0 , то ряд  u n lim п n 1 признак расходится (в обратную сторону признак также не действует). Указание (!!!). Применение необходимого признака удобно для рядов, в которых: а. u n  const  0 ; б. в записи u n старшая степень числителя  старшей степени знаменателя  n 1 2 3 n     ...   ... 2 5 8 3n  1 n 1 3n  1 Пример 6. Исследовать сходимость ряда  Решение. Поскольку в записи общего элемента ряда u n старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя, мы можем применить необходимый признак сходимости: n  n n 1 1   lim  lim  lim   0 n   3n  1  n   3n  \1 n   3n n   3 3 lim u n  lim n  - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится. Замечание. При вычислении предела в процессе раскрытия неопределенности  воспользовались понятием «эквивалентные бесконечно большие функции»,  оставив под знаком предела в числителе и знаменателе дроби только старшие степени и отбросив слагаемые с меньшими степенями п.  6n 6  3n 4  2n  5n 3  n  7 n 1 Решение. Поскольку в записи общего элемента ряда u n старшая степень числителя явно больше старшей степени знаменателя, мы можем применить необходимый признак сходимости: 6n 6  3n 4  2n  6n 6  \3n 4  2n 6n 6 6n 3 6   lim un  lim   lim  lim  lim  0 n n 5n 3  n  7 n 5n 3 n 5  n 5n 3  \ n  7 5 Пример 7. - необходимый признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится. 2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными элементами (знакоположительные ряды), т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными элементами (знакоотрицательные ряды). 2.1. Второй (предельный) признак сравнения рядов (признаков сравнения 2, мы рассматриваем только второй признак сравнения!!!). un  k , где k – число, n  v n отличное от нуля ( k  0 , k   ), то ряды  u n и  v n ведут одинаково в смысле сходимости. Указание (!!!). 1. При подборе «эквивалентного» ряда для сравнения чаще всего используют ряд Дирихле (см. формулы (6), (7)) или ряд геометрической прогрессии (4). 2. Применение признаков сравнения удобно для рядов, в которых: а. в записи u n старшая степень числителя < старшей степени знаменателя Теорема. Если u n  0, v n  0 и существует предел lim  8n 3  9 n  7 . Пример 8. Исследовать на сходимость ряд  5 2 n 1 3n  7 n  1 Решение. Поскольку в записи общего элемента ряда u n старшая степень числителя явно меньше старшей степени знаменателя, мы можем применить предельный признак сравнения. Но, сначала подберем для сравнения «эквивалентный» ряд. Для этого в записи u n оставим в числителе и знаменателе дроби только старшие степени п, отбросив коэффициенты при этих степенях и все    n3  1 1 остальные слагаемые:  vn   5   2 . Таким образом, мы получили ряд  2 , n 1 n 1n n 1n n 1 n с которым будем «сравнивать» исходный. Это ряд Дирихле (см. формулу (6)), в  1 котором p  2  1,  ряд  2 сходится. n 1 n Применим второй признак сравнения для рядов с общими элементами 1 8n 3  9n  7 , vn  : un  5 n2 3n  7n 2  1 8n 3  9n  7  8n 3 8 5 2 5 2 u 8 0 lim n  lim 3n  7n  1    lim 3n  lim 3n     оба ряда ведут себя n v n n 1 1 1 n 1 3  n 2 2 2  n n n  1 одинаково в смысле сходимости. А так как ряд  2 сходится, то и сходится n 1 n  8n 3  9 n  7 . исходный ряд  5 2 3 n  7 n  1 n 1  4n 5  8n 3  1 . Пример 9. Исследовать на сходимость ряд  6 2 5 n  n  3 n 1 Решение. Поскольку в записи общего элемента ряда u n старшая степень числителя явно меньше старшей степени знаменателя, мы можем применить предельный признак сравнения. Но, сначала подберем для сравнения «эквивалентный» ряд. Для этого в записи u n оставим в числителе и знаменателе дроби только старшие степени п, отбросив коэффициенты при этих степенях и все   n5  1 остальные слагаемые:  vn   6   . Таким образом, мы получили n 1 n 1 n n 1 n  1 гармонический ряд  , с которым будем «сравнивать» исходный. Это ряд n 1 n расходится (см. формулу (7)). Применим второй признак сравнения для рядов с общими элементами 1 4n 5  8n 3  1 , vn  : un  6 n 5n  n 2  3 4 n 5  8n 3  1  4n 5 4 6 2 6 u 4 0 lim n  lim 5n  n  3    lim 5n  lim 5n     оба ряда ведут себя n  v n  n  1 1 1 n  1 5  n n  n n  1 одинаково в смысле сходимости. А так как ряд  расходится, то и расходится n 1 n 5 3  4n  8n  1 . исходный ряд  6 2 n 1 5n  n  3 2.2. Признак Даламбера. u Если существует предел lim n1  d , то при d < 1 ряд n u n  u n сходится, а при n 1 d > 1 – расходится. Если d = 1, то на вопрос о сходимости ряда  u n ответить n 1 нельзя. Указание (!!!). Применение признака Даламбера удобно для рядов, в которых: в записи u n присутствует а) показательная функция а п б) факториал: п! , где п! 1  2  3    п , 0! 1! 1 . Например, 3! 1  2  3  6 ; 5! 1  2  3  4  5  120 и т.д.; 2п  ! 1  2  3    2п  1  2п  ; п  3 ! 1  2  3    п  2  п  3 . Каждый последующий множитель в произведении на 1 больше предыдущего!!! Поэтому при сокращении дробей в числителе и знаменателе которых присутствуют факториалы, меньший факториал всегда уходит, поскольку он входит в больший, а от большего остаются подряд идущие множители, начиная с множителя, на единицу большего чем больший множитель сокращенного факториала, и заканчивая последним множителем большего факториала. На понимании этого основано правило сокращения факториалов. Например, 6! 1 2  3  4  5  6 1 1    8! 1  2  3  4  5  6  7  8 7  8 56 п! 1 2  3  п 1 .   п  2 ! 1  2  3    п  п  1  п  2 п  1  п  2 Пример 10. Исследовать сходимость ряда  n  2n . n 1 Решение. Поскольку в записи u n присутствует показательная функция 2 п , воспользуемся признаком Даламбера. u n 1 n  u n lim n 1 n 1 n  1 2п  n  2п 1 2  lim  lim n 1    lim n   1 , ряд сходится. n  n n  2 п  n 2  2  п 2 2n Пример 11. Исследовать сходимость ряда 1   1 1 1 2n  5   ...   ...   n 1! 2! n! n 1 3  n  1! Решение. Поскольку в записи u n присутствует показательная функция 3 п и n  1!, воспользуемся признаком Даламбера. 2  n  1  5 2n  7 n 1 n 1 u n1  2n  7   3n  n  1!  3  n  1  1! 3  n  2! lim  lim  lim  lim n1   n u n n n 3 2n  5 2n  5  n  2!2n  5  n 3n  n  1! 3n  n  1! n  1!  lim 1  1  0  1 , ряд сходится. 2n  3n  n  1!  lim n1  lim n 3  n  2!2n n 3  n  2! n 3  n  2  Пример 12. Исследовать сходимость ряда   2n ! . 3n присутствует показательная n 1 2n ! , Решение. Поскольку в записи u n воспользуемся признаком Даламбера. 2  n  1! u 2n  2!3n    lim 2n !2n  1  2n  2 3n  3 n  1 lim n1  lim  lim n u n n 3n  3  2n ! 2n !  n 3n  2n ! n 3n 2n  1  2n  2    1 , ряд расходится.  lim n 1 2.3. Радикальный признак Коши. Если существует предел lim u n  k , то при k<1 ряд n n  k>1 ряд  u n  u n сходится, а при n 1 расходится. Если k = 1, то на вопрос о сходимости ряда n 1  u n n 1 ответить нельзя. Указание (!!!). Применение радикального признака Коши удобно для рядов, в которых ВСЁ выражение в записи u n содержит п в показателе степени. Помните, что n х  m m xn n  2n 2  1   . Пример 13. Исследовать сходимость ряда   2 n 1  3n  5  Решение. Поскольку все выражение в записи u n содержит п в показателе степени, применим радикальный признак Коши.  п п 1п  2n  1   2n 2n 2  1  2n 2 2   lim  2   lim 2 lim n u n  lim п  2   lim 2   1 , n n n 3n  5 n 3n  5  n 3n 3  3n  5    ряд сходится. 6n   5n  12  Пример 14. Исследовать сходимость ряда    . n 1  3n  1  Решение. Поскольку все выражение в записи u n содержит п в показателе степени, применим радикальный признак Коши. 2  5n  12  lim n u n  lim п   n  n  3n  1  ряд расходится 6n 2 6п 6 6  5n  12  п  5n   5   lim    lim       1, n 3n  1  n 3n  3  3n  n8  Пример 15. Исследовать сходимость ряда  7    . 3 n  11   n 1 Решение. Поскольку все выражение в записи u n содержит п в показателе степени, применим радикальный признак Коши.  n 8  lim u n  lim 7    n n  3n  11  ряд сходится. n п п 3n  lim n п 7п 3n п  n8    3n  11  п 3 3 7  n 1  lim 7     lim 7     1 n 27  3n  n  3  P.S. В лекции серым цветом выделены некоторые «кусочки» решений, на которые следует обратить внимание при решении заданий практики 1.