Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная

Понятие производной

Определение 1

Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $\triangle x$, при $\triangle x\to 0$, то он называется производной функции $f(x)$ (произносится как «производная функции эф от переменной икс») в точке $x_0$.

\[{\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }\]
Теорема 1

Формула приращения дифференцируемой функции в точке

Если функция $f(x)$ в точке $x_0$ имеет конечную производную $f'(x_0)$, то справедливо представление:

\[f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)=f'\left(x_0\right)\triangle x+\alpha \triangle x\]

В котором $\alpha$ стремится к нулю при $\triangle x\to 0$

Доказательство.

Рассмотрим поведение функции $f(x)$ вблизи точки $x_0$.

Так как по определению производной в точке $x_0$ она равна ${\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }=f'(x_0)$, то

Определим отсюда $\triangle y$:

$\frac{\triangle y}{\triangle x}=\alpha +f'(x_0)$

$\triangle y=\alpha \triangle x+f'(x_0)\triangle x$

Что и требовалось доказать.

Производная сложной функции

Теорема 2

Пусть $y=f(x)$ с областью определения аргумента $X$ и $g=g(y)$ с областью определения аргумента $Y$, такие что $E(f)\in D(g)$, имеют в точках $x_0\in X$ и $y_0\in Y$ конечные производные $f'(x_0)$ и $g'(y_0)$, тогда функция $h\left(x\right)=g(f\left(x\right))$ также имеет в точке $x_0$ конечную производную $h'(x_0)$ и эта производная равна $h'\left(x_0\right)=g'(y_0)\cdot f'(x_0)$

Производная обратной функции

Теорема 3

Пусть монотонная непрерывная в $X\in R$ отображающая множество $X$ на $Y$ функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0\in X$ конечную производную $y'=f'(x_0)\ne 0$, тогда функция $x=f^{-1}\left(y\right)=g(y)$, отображающая множество $Y\ на\ X$ также имеет в точке $y_0\in Y$ конечную производную $g'(y_0)$ и выполняется $g'\left(y_0\right)=\frac{1}{f'(x_0)}$.

Готовые работы на аналогичную тему

Таблица производных

Введем таблицу простейших производных (таблица 1), она описывает элементарные правила дифференцирования:

Таблица производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Таблица производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Задачи на вычисление производных

Пример 1

Найти производные функции в точке $x_0=1$:

а) $f\left(x\right)=x^3$

б) $f\left(x\right)=4-x^2$

в) $f\left(x\right)=2x^2$

г) $f\left(x\right)=3x-2$

Решение:

Производные функций будем находить, используя таблицу 1.

а) $f'(x)={\left(x^3\right)}'=3x^{3-1}=3x^2$

\[f'(1)=3\]

б) $f^{'\left(x\right)}={\left(4-x^2\right)}'=0-2x^{2-1}=-2x$

\[f'\left(1\right)=-2\]

в) $f^{'\left(x\right)}={\left(2x^2\right)}'=2\cdot 2x^{2-1}=4x$

\[f'(1)=4\]

г) $f^{'\left(x\right)}={\left(3x-2\right)}'=3-0=3$

\[f'(1)=3\]
Пример 2

Найти производные сложной функции в точке $x_0=2$:

а) $f\left(x\right)=cos(5x)$

б) $f\left(x\right)={(2-x)}^2$

в) $f\left(x\right)={(2x+1)}^4$

г) $f\left(x\right)=ln\left(x^2\right)$

Решение:

Производные будем находить, используя таблицу 1 и теорему 2.

а) $f'(x)={\left(cos5x\right)}'\cdot {\left(5x\right)}'=-sin5x\cdot 5=-5sin5x$

\[f'\left(2\right)=-5sin10\]

б) $f'(x)={\left({\left(2-x\right)}^2\right)}'{\left(2-x\right)}'=2\left(2-x\right)\cdot \left(-1\right)=2x-4$

\[f'\left(2\right)=4-4=0\]

в) $f'\left(x\right)={\left({\left(2x+1\right)}^4\right)}'{\left(2x+1\right)}'=4{\left(2x+1\right)}^3\cdot 2=8{\left(2x+1\right)}^3$

\[f'\left(2\right)=8\cdot 5^3=1000\]

г) $f'(x)={\left(ln\left(x^2\right)\right)}'{\left(x^2\right)}'=\frac{1}{x^2}\cdot 2x=\frac{2}{x}$

\[f'\left(2\right)=\frac{2}{2}=1\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис