Квадрат производной

Найти квадрат производной

Решение.

1. По формуле:
\[\left(\ln f(x)\right){{'} } =\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\]

Распишем производную сложной функции

\[y'=\frac{1}{x^{2} -1} \cdot \left(x^{2} -1\right){{'} } \]
2. Найдем производную вложенной функции
\[y'=\frac{1}{x^{2} -1} \cdot \left(x^{2} -1\right){{'} } =\frac{2x}{x^{2} -1} \]
3. Найдем квадрат производной
\[\left(y'\right)^{2} =\left(\frac{2x}{x^{2} -1} \right)^{2} =\frac{4x^{2} }{\left(x^{2} -1\right)^{2} } \]

Найти квадрат производной четвертого порядка

Решение.

1. Найдем производную первого порядка
\[y'=\left(x^{5} +3x^{3} -x^{2} \right){{'} } =5x^{4} +9x^{2} -2x\]
2. Найдем производную второго порядка
\[y''=\left(5x^{4} +9x^{2} -2x\right){{'} } =20x^{3} +18x-2\]
3. Найдем производную третьего порядка
\[y'''=\left(20x^{3} +18x-2\right){{'} } =60x^{2} +18\]
4. Найдем производную четвертого порядка
\[y''''=\left(60x^{2} +18\right){{'} } =120x\]
5. Найдем квадрат четвертой производной
\[\left(y''''\right)^{2} =\left(120x\right)^{2} =14400x^{2} \]

Найти вторую производную неявной функции.

Решение.

1. Приведем функцию к виду F(x;y(x)) = 0
\[x^{2} +xy^{3} -3=0\]
2. Продифференцируем полученное равенство
\[\left(x^{2} +xy^{3} -3\right){{'} } =0'\]
3. По свойству линейности:
\[x^{2}{{'} } +\left(xy^{3} \right){{'} } -3'=0'\]
4. Второе слагаемое -- сложная функция
\[2x+\left(x'y^{3} +xy^{3} {{'} } \right)=0\] \[2x+y^{3} +3xy^{2} \cdot y{{'} } =0\]
5. Выразим $y'$
\[y{{'} } =\frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } \]
6. Продифференцируем полученное выражение повторно
\[2\left(x\right){{'} } +\left(y^{3} \right){{'} } +3\left(xy^{2} \cdot y{{'} } \right){{'} } =0\] \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(xy^{2} \right){{'} } \cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(x'y^{2} +xy^{2} {{'} } \right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(y^{2} +2xy\cdot y'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
7. Упростим
\[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(y^{2} y{{'} } +2xyy'^{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
8. Заменим $y'$ полученным выше выражением. В скобках получили квадрат производной вычисления которого производится по приведенному выше правилу.
\[2+3y^{2} \cdot \frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } +3\left(y^{2} \frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } +2xy\left(\frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } \right)^{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[2+\frac{-2x-y^{3} }{x} +3\left(\frac{-2x-y^{3} }{3x} +\frac{2\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
9. Приведем выражение к общему знаменателю и упростим
\[3\left(\frac{y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)}{3xy^{3} } +\frac{2\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=\frac{2x+y^{3} }{x} -2\] \[3xy\cdot y{{'} } {{'} } =\frac{2x+y^{3} }{x} -2-\frac{3y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)+6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } \] \[3xy\cdot y{{'} } {{'} } =\frac{3y^{3} \left(2x+y^{3} \right)}{3xy^{3} } -\frac{2\cdot 3xy^{3} }{3xy^{3} } -\frac{3y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)+6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } \]
10. Выразим вторую производную и упростим
\[y{{'} } {{'} } =\frac{6xy^{3} +6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} \cdot 3xy} =\frac{6xy^{3} +24x^{2} +24xy^{3} +6y^{6} }{3xy^{3} \cdot 3xy} =\frac{3xy^{3} +8x^{2} +8xy^{3} +3y^{6} }{3x^{2} y^{4} } \]