Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадрат производной

Определение

Квадратом производной является операция возведения результата вычисления производной в степень 2.

\[\left(y'\right)^{2} =y'\cdot y'\]

Например, в результате вычислений получено:

\[y'=8x+1\]

Квадрат производной будет равен:

\[\left(y'\right)^{2} =\left(8x+1\right)^{2} =64x^{2} +16x+1\]
Пример 1

Найти квадрат производной

\[y=\ln (x^{2} -1)\]

Решение.

  1. По формуле:
  2. \[\left(\ln f(x)\right){{'} } =\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)\]

    Распишем производную сложной функции

    \[y'=\frac{1}{x^{2} -1} \cdot \left(x^{2} -1\right){{'} } \]
  3. Найдем производную вложенной функции
  4. \[y'=\frac{1}{x^{2} -1} \cdot \left(x^{2} -1\right){{'} } =\frac{2x}{x^{2} -1} \]
  5. Найдем квадрат производной
  6. \[\left(y'\right)^{2} =\left(\frac{2x}{x^{2} -1} \right)^{2} =\frac{4x^{2} }{\left(x^{2} -1\right)^{2} } \]
Пример 2

Найти квадрат производной четвертого порядка

\[y=2x^{5} +3x^{3} -x^{2} \]

Решение.

  1. Найдем производную первого порядка
  2. \[y'=\left(x^{5} +3x^{3} -x^{2} \right){{'} } =5x^{4} +9x^{2} -2x\]
  3. Найдем производную второго порядка
  4. \[y''=\left(5x^{4} +9x^{2} -2x\right){{'} } =20x^{3} +18x-2\]
  5. Найдем производную третьего порядка
  6. \[y'''=\left(20x^{3} +18x-2\right){{'} } =60x^{2} +18\]
  7. Найдем производную четвертого порядка
  8. \[y''''=\left(60x^{2} +18\right){{'} } =120x\]
  9. Найдем квадрат четвертой производной
  10. \[\left(y''''\right)^{2} =\left(120x\right)^{2} =14400x^{2} \]
Пример 3

Найти вторую производную неявной функции.

\[x^{2} +xy^{3} =3\]

Решение.

  1. Приведем функцию к виду F(x;y(x)) = 0
  2. \[x^{2} +xy^{3} -3=0\]
  3. Продифференцируем полученное равенство
  4. \[\left(x^{2} +xy^{3} -3\right){{'} } =0'\]
  5. По свойству линейности:
  6. \[x^{2}{{'} } +\left(xy^{3} \right){{'} } -3'=0'\]
  7. Второе слагаемое -- сложная функция
  8. \[2x+\left(x'y^{3} +xy^{3} {{'} } \right)=0\] \[2x+y^{3} +3xy^{2} \cdot y{{'} } =0\]
  9. Выразим $y'$
  10. \[y{{'} } =\frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } \]
  11. Продифференцируем полученное выражение повторно
  12. \[2\left(x\right){{'} } +\left(y^{3} \right){{'} } +3\left(xy^{2} \cdot y{{'} } \right){{'} } =0\] \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(xy^{2} \right){{'} } \cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(x'y^{2} +xy^{2} {{'} } \right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(\left(y^{2} +2xy\cdot y'\right)\cdot y{{'} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
  13. Упростим
  14. \[2+3y^{2} \cdot y{{'} } +3\left(y^{2} y{{'} } +2xyy'^{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
  15. Заменим $y'$ полученным выше выражением. В скобках получили квадрат производной вычисления которого производится по приведенному выше правилу.
  16. \[2+3y^{2} \cdot \frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } +3\left(y^{2} \frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } +2xy\left(\frac{-2x-y^{3} }{3xy^{2} } \right)^{2} +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\] \[2+\frac{-2x-y^{3} }{x} +3\left(\frac{-2x-y^{3} }{3x} +\frac{2\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=0\]
  17. Приведем выражение к общему знаменателю и упростим
  18. \[3\left(\frac{y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)}{3xy^{3} } +\frac{2\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } +xy\cdot y{{'} } {{'} } \right)=\frac{2x+y^{3} }{x} -2\] \[3xy\cdot y{{'} } {{'} } =\frac{2x+y^{3} }{x} -2-\frac{3y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)+6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } \] \[3xy\cdot y{{'} } {{'} } =\frac{3y^{3} \left(2x+y^{3} \right)}{3xy^{3} } -\frac{2\cdot 3xy^{3} }{3xy^{3} } -\frac{3y^{3} \left(-2x-y^{3} \right)+6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} } \]
  19. Выразим вторую производную и упростим
  20. \[y{{'} } {{'} } =\frac{6xy^{3} +6\left(-2x-y^{3} \right)^{2} }{3xy^{3} \cdot 3xy} =\frac{6xy^{3} +24x^{2} +24xy^{3} +6y^{6} }{3xy^{3} \cdot 3xy} =\frac{3xy^{3} +8x^{2} +8xy^{3} +3y^{6} }{3x^{2} y^{4} } \]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис