Справочник от Автор24
Найди автора для помощи в учебе
Найти автора
+2

Функции

Основные понятия

Одним из основных понятий является понятие функция. Понятие функция связано с установлением связи (зависимости) между элементами двух множеств.

Пусть известны два множества $X$ и $Y$ непустых. Соответствие $f,$ которое каждому из элементов $x\ \in X$ ставит один и только единый элемент $y\in Y,$ называется функцией и представляется в виде $y=f\left(x\right),\ x\ \in X$ или $f:X\to Y.$ Также говорят , что функция $f$ отображает множество $X$ на $Y.$

Определение множества

Множество $X$ является областью определения функции $f$ и обозначается $D\left(f\right).$

Множество всех $y\ \in Y$ называется множеством значений функции $f$ и обозначается $E\left(f\right).$

Если элементами множеств $X$ и $Y$ есть действительные числа, то функция $f$ будет числовой функцией.

Определение аргумента и функции

Переменную $x$ называют при этом аргументом или независимой переменной, а $y\ $-- функцией или зависимой переменной.

А сами величин $x$ и $y$ находятся в функциональной зависимости.

Определение графика функции

Графиком функции $y=f\left(x\right)$ является множество всех точек плоскости $Oxy,$ для каждой из которых $x$ есть значением аргумента, а $y-$ соответствующим значением функции.

Что б задать функцию $y=f\left(x\right)$, необходимо указать правило, позволяющее, находить соответстующее значения $y,$ зная $x.$

Зачастую встречаются три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.

Функция $y=f\left(x\right),\ $ определенная на множестве $D,$ называется четной, если $\forall x\ \in D$ выполняются условия $-x\in D$ и $f\left(-x\right)=f\left(x\right);$ нечетной, если $\forall x\ \in D$ выполняются условия $-x\in D$ и $f\left(-x\right)=-f\left(x\right).$

График четной функции симметричен относительно оси $Oy,$ а нечетной -- относительно начала координат.

Пусть функция $y=f\left(x\right)$ определена на множестве $M$ и пусть $M_1\subset M.$ Если для любих значений $x_1,\ x_2\in M_1$ аргументов из неравенства $x_1

$f\left(x_1\right)

$f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right),$ то функция неубывающая на множестве $M_1;$

$f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right),$ то функция убывающая на множестве $M_1;$

$f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right),$ то функция невозрастающая на множестве $M_1.$

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции на множестве $D_1$ называют монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие -- строго монотонными.

Функция $y=f\left(x\right),$ определенную на множестве $M,$ есть ограниченной на этом множестве, если существует такое число $N > 0,$ что для всех $x\in M$ выполняется неравенство $\left|f\left(x\right)\right|\le N.$

Функция $y=f\left(x\right),$ определенная на множестве $M,$ является периодической на этом множестве, если существует такое число $T>0,$ что при каждом $x\in M$ значение $\left(x+T\right)\in M$ и $f\left(x+T\right)=f\left(x\right).$ При этом число $T$ называют периодом функции.

Постоянной называется функция, которая задана формулой $y=b,$ где $b-$ число.

Графиком постоянной функции $y=b$ есть прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку $\left(O;b\right)$ на оси ординат.

«Функции» 👇
Помощь автора по теме работы
Найти автора
Скидки на первый заказ
Все промокоды
Собрали более 72 000 авторов учебных работ
Найти автора
Определение прямой пропорциональности

Прямой пропорциональностью называется функция, которая задается формулой $y=kx,\ $ где $k\ne 0.$ Число $k$ является коэффициентом пропорциональности.

Линейная функция это такая функция, которая задана формулой $y=kx+b,$ где $k$ и $b-$ действительные числа.

Определение обратной пропорциональности

Обратной пропорциональностью называют функцию, которая задается формулой $y=\frac{k}{x},$ где $k\ne 0.$ Число $k$ является коэффициентом обратной пропорциональности.

Функция $y=x^n,$ где $n-$ натуральное число, является степенной функцией с натуральным показателем. При $n=1$ получим функцию $y=x.$

Функция задана формулой $y=a^x,$ где $a > 0$ и $a\ne 1$ называется показательной.

Перечислим свойства функции $y=a^x$ при $a > 1\ и\ 0

  1. Область определения функции является вся числовая прямая.
  2. Область значений функции есть промежуток $\left(0;\infty \right).$
  3. Функция не является ни четной, ни нечетной. Это следует из того, что $a^{-x}\ne a^x$ и $a^{-x}\ne -a^x.$
  4. Функция возрастающая (убывает) соответственно на всей числовой прямой.

Логарифмическая функция $y={{log}_a x,\ }$ где $a > 0$ и $a\ne 1,-$ это функция, обратная к показательной функции $y=a^x.$

Логарифмическая функция $y={{log}_a x\ }$ обладает следующими свойствами:

  1. Область определения $\left(0;+\infty \right).$
  2. Область значений $\left(-\infty ;+\infty \right).$
  3. Функция ни четная, ни нечетная.
  4. Функция возрастает на промежутке $\left(0;+\infty \right)$ при $a > 1,\ $ убывает на $\left(0;+\infty \right)$ при $0

Тригонометрические функции

Тригонометрические вычисления необходимы при нахождении элементов треугольника. Возьмем прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha .$ Пускай $c-$ гипотенуза треугольника, $a-$ катет, что лежит против угла $\alpha $ (противоположный катет), $b-$ прилежащий катет.

Определение синуса

Синусом острого угла называют отношение противоположного катета к гипотенузе.

Определение косинуса

Косинус острого угла -- это отношение прилежащего катета к его гипотенузе.

Определение тангенса

Тангенс острого угла -- это отношение противоположного катета к прилежащему катету.

Определение котангенса

Котангенс острого угла -- это отношение прилежащего катета к противоположному катету.

Свойства функции $y={sin x.\ }$

  1. Областью определения есть множество всех действительных чисел.
  2. Областью значений есть отрезок $\left[-1;1\right].$
  3. Функция является периодическая.
  4. Функция является нечетная.
  5. Функция возрастает на промежутке $\left[-\frac{\pi }{2}+2\pi n;\ \frac{\pi }{2}+2\pi n\right]$ и убывает на промежутке $\left[\frac{\pi }{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi }{2}+2\pi n\right],$ $n\in Z.$

Свойства функции $y={cos x.\ }$

  1. Область определения -- это множество всех действительных чисел.
  2. Областью значений является отрезок $\left[-1;1\right].$
  3. Функция периодическая.
  4. Функция есть четная.
  5. Функция возрастает на промежутке $\left[-\pi +2\pi n;\ 2\pi n\right]$ и убывает на промежутке $\left[2\pi n;\ \pi +2\pi n\right],$ $n\in Z.$

Свойства функции $y=tg\ x.\ $

  1. Областью определения является: $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k,\ k\in Z.$
  2. Областью значений есть вся числовая прямая.
  3. $\pi -$ основной период функции.
  4. Функция нечетная.
  5. Функция возрастает на промежутках $\left(-\frac{\pi }{2}+\pi n;\ \frac{\pi }{2}+\pi n\right).$

Свойства функции $y=ctg\ x.\ $

  1. Область определения: $x\ne \pi k,\ k\in Z.$
  2. Областью значений является вся числовая прямая.
  3. $\pi -$ основной период функции.
  4. Функция нечетная.
  5. Функция убывает на промежутках $\left(\pi n;\ \pi +\pi n\right).$
Дата последнего обновления статьи: 02.02.2025
Бесплатный AI-помощник в учебе
от Автор24 в Telegram
Помощь в учебе всегда под рукой
Запустить бота
Бот Автор24 — помощник в учебе

Поможет за секунду ответить на любой вопрос, придумать план работы, сгенерировать часть работы и задать вопрос Автору.

Перейти в Telegram Bot