Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Функции

Содержание статьи

Основные понятия

Одним из основных понятий является понятие функция. Понятие функция связано с установлением связи (зависимости) между элементами двух множеств.

Пусть известны два множества $X$ и $Y$ непустых. Соответствие $f,$ которое каждому из элементов $x\ \in X$ ставит один и только единый элемент $y\in Y,$ называется функцией и представляется в виде $y=f\left(x\right),\ x\ \in X$ или $f:X\to Y.$ Также говорят , что функция $f$ отображает множество $X$ на $Y.$

Определение множества

Множество $X$ является областью определения функции $f$ и обозначается $D\left(f\right).$

Множество всех $y\ \in Y$ называется множеством значений функции $f$ и обозначается $E\left(f\right).$

Если элементами множеств $X$ и $Y$ есть действительные числа, то функция $f$ будет числовой функцией.

Определение аргумента и функции

Переменную $x$ называют при этом аргументом или независимой переменной, а $y\ $-- функцией или зависимой переменной.

А сами величин $x$ и $y$ находятся в функциональной зависимости.

Определение графика функции

Графиком функции $y=f\left(x\right)$ является множество всех точек плоскости $Oxy,$ для каждой из которых $x$ есть значением аргумента, а $y-$ соответствующим значением функции.

Что б задать функцию $y=f\left(x\right)$, необходимо указать правило, позволяющее, находить соответстующее значения $y,$ зная $x.$

Зачастую встречаются три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.

Функция $y=f\left(x\right),\ $ определенная на множестве $D,$ называется четной, если $\forall x\ \in D$ выполняются условия $-x\in D$ и $f\left(-x\right)=f\left(x\right);$ нечетной, если $\forall x\ \in D$ выполняются условия $-x\in D$ и $f\left(-x\right)=-f\left(x\right).$

График четной функции симметричен относительно оси $Oy,$ а нечетной -- относительно начала координат.

Пусть функция $y=f\left(x\right)$ определена на множестве $M$ и пусть $M_1\subset M.$ Если для любих значений $x_1,\ x_2\in M_1$ аргументов из неравенства $x_1

$f\left(x_1\right)

$f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right),$ то функция неубывающая на множестве $M_1;$

$f\left(x_1\right) > f\left(x_2\right),$ то функция убывающая на множестве $M_1;$

$f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right),$ то функция невозрастающая на множестве $M_1.$

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции на множестве $D_1$ называют монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие -- строго монотонными.

Функция $y=f\left(x\right),$ определенную на множестве $M,$ есть ограниченной на этом множестве, если существует такое число $N > 0,$ что для всех $x\in M$ выполняется неравенство $\left|f\left(x\right)\right|\le N.$

Функция $y=f\left(x\right),$ определенная на множестве $M,$ является периодической на этом множестве, если существует такое число $T>0,$ что при каждом $x\in M$ значение $\left(x+T\right)\in M$ и $f\left(x+T\right)=f\left(x\right).$ При этом число $T$ называют периодом функции.

Постоянной называется функция, которая задана формулой $y=b,$ где $b-$ число.

Графиком постоянной функции $y=b$ есть прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку $\left(O;b\right)$ на оси ординат.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение прямой пропорциональности

Прямой пропорциональностью называется функция, которая задается формулой $y=kx,\ $ где $k\ne 0.$ Число $k$ является коэффициентом пропорциональности.

Линейная функция это такая функция, которая задана формулой $y=kx+b,$ где $k$ и $b-$ действительные числа.

Определение обратной пропорциональности

Обратной пропорциональностью называют функцию, которая задается формулой $y=\frac{k}{x},$ где $k\ne 0.$ Число $k$ является коэффициентом обратной пропорциональности.

Функция $y=x^n,$ где $n-$ натуральное число, является степенной функцией с натуральным показателем. При $n=1$ получим функцию $y=x.$

Функция задана формулой $y=a^x,$ где $a > 0$ и $a\ne 1$ называется показательной.

Перечислим свойства функции $y=a^x$ при $a > 1\ и\ 0

  1. Область определения функции является вся числовая прямая.
  2. Область значений функции есть промежуток $\left(0;\infty \right).$
  3. Функция не является ни четной, ни нечетной. Это следует из того, что $a^{-x}\ne a^x$ и $a^{-x}\ne -a^x.$
  4. Функция возрастающая (убывает) соответственно на всей числовой прямой.

Логарифмическая функция $y={{log}_a x,\ }$ где $a > 0$ и $a\ne 1,-$ это функция, обратная к показательной функции $y=a^x.$

Логарифмическая функция $y={{log}_a x\ }$ обладает следующими свойствами:

  1. Область определения $\left(0;+\infty \right).$
  2. Область значений $\left(-\infty ;+\infty \right).$
  3. Функция ни четная, ни нечетная.
  4. Функция возрастает на промежутке $\left(0;+\infty \right)$ при $a > 1,\ $ убывает на $\left(0;+\infty \right)$ при $0

Тригонометрические функции

Тригонометрические вычисления необходимы при нахождении элементов треугольника. Возьмем прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha .$ Пускай $c-$ гипотенуза треугольника, $a-$ катет, что лежит против угла $\alpha $ (противоположный катет), $b-$ прилежащий катет.

Определение синуса

Синусом острого угла называют отношение противоположного катета к гипотенузе.

Определение косинуса

Косинус острого угла -- это отношение прилежащего катета к его гипотенузе.

Определение тангенса

Тангенс острого угла -- это отношение противоположного катета к прилежащему катету.

Определение котангенса

Котангенс острого угла -- это отношение прилежащего катета к противоположному катету.

Свойства функции $y={sin x.\ }$

  1. Областью определения есть множество всех действительных чисел.
  2. Областью значений есть отрезок $\left[-1;1\right].$
  3. Функция является периодическая.
  4. Функция является нечетная.
  5. Функция возрастает на промежутке $\left[-\frac{\pi }{2}+2\pi n;\ \frac{\pi }{2}+2\pi n\right]$ и убывает на промежутке $\left[\frac{\pi }{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi }{2}+2\pi n\right],$ $n\in Z.$

Свойства функции $y={cos x.\ }$

  1. Область определения -- это множество всех действительных чисел.
  2. Областью значений является отрезок $\left[-1;1\right].$
  3. Функция периодическая.
  4. Функция есть четная.
  5. Функция возрастает на промежутке $\left[-\pi +2\pi n;\ 2\pi n\right]$ и убывает на промежутке $\left[2\pi n;\ \pi +2\pi n\right],$ $n\in Z.$

Свойства функции $y=tg\ x.\ $

  1. Областью определения является: $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k,\ k\in Z.$
  2. Областью значений есть вся числовая прямая.
  3. $\pi -$ основной период функции.
  4. Функция нечетная.
  5. Функция возрастает на промежутках $\left(-\frac{\pi }{2}+\pi n;\ \frac{\pi }{2}+\pi n\right).$

Свойства функции $y=ctg\ x.\ $

  1. Область определения: $x\ne \pi k,\ k\in Z.$
  2. Областью значений является вся числовая прямая.
  3. $\pi -$ основной период функции.
  4. Функция нечетная.
  5. Функция убывает на промежутках $\left(\pi n;\ \pi +\pi n\right).$
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис