Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

График простейшей функции: линейная функция

Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / График простейшей функции: линейная функция

Функция прямой пропорциональности

Для начала вспомним, что является функцией прямой пропорциональности.

Определение 1

Две не равные нулю величины называются прямо пропорциональными, если их отношение равно не равному нулю числу:

\[\frac{y}{x}=k\]

Если теперь предположить, что они могут равнять нулю и умножить обе части на $x$ получим выражение вида $y=kx$. Это выражение будет называться функцией прямой пропорциональности.

Определение линейной функции

Будем рассматривать определение линейной функции с помощью её аналитического задания. Для ее определения используем аналитическое выражение функции прямой пропорциональности. Прибавив к правой части данного выражения какую-либо константу (включая ноль) и получим линейную функцию, то есть

Определение 2

Линейной функцией называется выражение $y=kx+b$, где $k$ не равно нулю.

Графиком линейной функции является прямая. Коэффициент $k$ является угловым коэффициентом данной прямой.

Рассмотрим следующий рисунок:



Рисунок 1.

Возьмем для рассмотрения $\triangle ABC$. В нем длина $BC=kx_0+b$. Далее разрешим по отношению к $x$ следующее уравнение

То есть ведичина $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем сдедующее отношение:

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Следовательно,

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равняется тангенсу угла наклона данной прямой к оси $Ox$.

Готовые работы на аналогичную тему

Исследование линейной функции $f(x)=kx+b$ и её график

Рассмотрим два случая:

  1. $k >0$.

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. $E\left(f\right)=R$
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$, следовательно, данная функция -- функция общего вида.
    4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

    Следовательно, данная функция пересекает оси в точках: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

    1. $f'\left(x\right)={\left(kx+b\right)}'=k>0$. Функция возрастает при $x=R$. Экстремумов нет.
    2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Функция не имеет перегибов и не является ни выпуклой, ни вогнутой.


    3. Рисунок 2.

    4. График изображен на рисунке 2.



    Рисунок 3.

  2. $k

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. $E\left(f\right)=R$.
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$, следовательно, данная функция -- функция общего вида.
    4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

    Следовательно, данная функция пересекает оси в точках: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$\textit{}

    1. $f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k
    2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Функция не имеет перегибов и не является ни выпуклой, ни вогнутой.


    3. Рисунок 4.

    4. График изображен на рисунке 3.



    Рисунок 5.

Пример задачи

Пример 1

Построить график линейной функции $y=2x+3$

Приведем табличный способ задания функции



Рисунок 6.

Остается провести прямую через данные точки. Получим



Рисунок 7.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис