Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

График простейшей функции: линейная функция

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функции и способы задания функций / График простейшей функции: линейная функция
График простейшей функции: линейная функция

Функция прямой пропорциональности

Для начала вспомним, что является функцией прямой пропорциональности.

Определение 1

Две не равные нулю величины называются прямо пропорциональными, если их отношение равно не равному нулю числу:

\[\frac{y}{x}=k\]

Если теперь предположить, что они могут равнять нулю и умножить обе части на $x$ получим выражение вида $y=kx$. Это выражение будет называться функцией прямой пропорциональности.

Определение линейной функции

Будем рассматривать определение линейной функции с помощью её аналитического задания. Для ее определения используем аналитическое выражение функции прямой пропорциональности. Прибавив к правой части данного выражения какую-либо константу (включая ноль) и получим линейную функцию, то есть

Помощь со студенческой работой на тему
График простейшей функции: линейная функция

Определение 2

Линейной функцией называется выражение $y=kx+b$, где $k$ не равно нулю.

Графиком линейной функции является прямая. Коэффициент $k$ является угловым коэффициентом данной прямой.

Рассмотрим следующий рисунок:



Рисунок 1.

Возьмем для рассмотрения $\triangle ABC$. В нем длина $BC=kx_0+b$. Далее разрешим по отношению к $x$ следующее уравнение

То есть ведичина $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем сдедующее отношение:

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Следовательно,

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равняется тангенсу угла наклона данной прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $f(x)=kx+b$ и её график

Рассмотрим два случая:

  1. $k >0$.

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. $E\left(f\right)=R$
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$, следовательно, данная функция -- функция общего вида.
    4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

    Следовательно, данная функция пересекает оси в точках: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

    1. $f'\left(x\right)={\left(kx+b\right)}'=k>0$. Функция возрастает при $x=R$. Экстремумов нет.
    2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Функция не имеет перегибов и не является ни выпуклой, ни вогнутой.


    3. Рисунок 2.

    4. График изображен на рисунке 2.



    Рисунок 3.

  2. $k

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. $E\left(f\right)=R$.
    3. $f\left(-x\right)=-kx+b$, следовательно, данная функция -- функция общего вида.
    4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

    Следовательно, данная функция пересекает оси в точках: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$\textit{}

    1. $f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k
    2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Функция не имеет перегибов и не является ни выпуклой, ни вогнутой.


    3. Рисунок 4.

    4. График изображен на рисунке 3.



    Рисунок 5.

Пример задачи

Пример 1

Построить график линейной функции $y=2x+3$

Приведем табличный способ задания функции



Рисунок 6.

Остается провести прямую через данные точки. Получим



Рисунок 7.