Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Линейная функция и её график

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Функции / Линейная функция и её график

Определение линейной функции

Введем определение линейной функции

Определение

Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

Рассмотрим рисунок 1.

Линейная функция и её график

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

\[kx+b=0\] \[x=-\frac{b}{k}\]

Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Вывод

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

  1. Область определения -- все числа.
  2. Область значения -- все числа.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

  1. $f'\left(x\right)={\left(kx+b\right)}'=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
  2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
  3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
  4. График (рис. 2).

Линейная функция и её график

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

  1. Область определения -- все числа.
  2. Область значения -- все числа.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

  1. $f'\left(x\right)={\left(kx\right)}'=k
  2. $f^{''}\left(x\right)=k'=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
  3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
  4. График (рис. 3).

Линейная функция и её график

Рис. 3. Графики функции $y=kx+b$, при $k

Важно: для построения графика функции $y=kx$ достаточно найти две точки и провести прямую через эти точки.

Задача на построение графиков функции прямой пропорциональности

Задача

Построить график функции $y=2x+3$

Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=5$. Пусть $x=-1$, тогда $y=1$. Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$. Получим

Линейная функция и её график

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис