Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Производная и ее геометрический смысл

Все предметы / Математика / Производная и ее геометрический смысл

Определение и основные значения производных

Определение 1

Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $\triangle x$, при $\triangle x\to 0$, то он называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

\[{\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }\]

Для вычисления производных пользуются таблицей основных производных (таблица 1)

Таблица производных

Рисунок 1. Таблица производных

Правила для вычисления производных

Введем теперь правила для вычисления различных производных.



Рисунок 2.

Производная параметрически заданной функции

Пусть функция задана параметрически



Рисунок 3.

Тогда производная данной функции будет находиться по формуле:

Производная функции, заданной в неявном виде

1 способ: Считают, что в уравнении $F\left(x,y\right)=0$ вместо $y$ подставлена неявная функция $f(x)$, тогда получаем тождество $F\left(x,y\right)=0$, где $y$ - функция от переменной $x$.Дифференцируем это тождество и получаем уравнение $Ф\left(x,y,y'\right)=0$ Выражаем оттуда $y'=U(x,y)$.

Готовые работы на аналогичную тему

2 способ: Вычисление по формуле:

Механический смысл производной

Механический смысл производной состоит в следующем: Скорость материальной очки в момент времени $t$ есть производная пути по времени в этот момент.

Также можно отметить, что ускорение материальной точки в момент времени $t$ есть производная скорости по времени в данный момент времени.

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной представляет собой угловой коэффициент касательной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Иначе также - это тангенс угла наклона касательной к графику данной функции.

Пример 1

Найти производные функции:

а) $f\left(x\right)=x^4$

б) $f\left(x\right)=2-x^3$

в) $f\left(x\right)=3x^7$

г) $f\left(x\right)=x-23$

Решение:

Найдем данные производные с помощью таблицы 1 (рис.1) и правил дифференцирования:

а) $f'\left(x\right)=4x^3$

б) $f'\left(x\right)=-3x^2$

в) $f'\left(x\right)=21x^6$

г) $f'\left(x\right)=1$

Пример 2

Найти производную параметрически заданной функции:



Рисунок 4.

Решение:

\[y'=\frac{(sint)'}{(cost)'}=-\frac{cost}{sint}=-ctgt\]
Пример 3

Найти производную степенно-показательной функции

\[f\left(x\right)=x^{cosx}\]

Решение:

\[f'\left(x\right)={-sinx\cdot x}^{cosx}\cdot lnx+cosx\cdot x^{cosx-1}\]
Пример 4

Найти производную заданной неявно функции:

\[x^2y^2-5x+2y^2+siny=3x-1\]

Решение:

Решим первым способом нахождения производных функций, заданных в неявном виде.

\[2yy'x^2-5+4yy'+y'cosy=3\] \[y'(2yx^2+4y+cosy)=8\] \[y'=\frac{8}{2yx^2+4y+cosy}\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис