Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Показательная функция

Все предметы / Математика / Показательная функция
Содержание статьи

Введем сначала определение показательной функции.

Определение 1

Функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a>0,\ a\ne 1$, называется показательной функцией.

Далее будем рассматривать два отдельных случая: когда $01$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$.

Введем свойства показательной функции, при $a >1$.

  1. Область определения -- все действительные числа.

  2. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.

  3. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

  4. Область значения -- интервал $(0,+\infty )$.

  5. $f'(x)=\left(a^x\right)'=a^xlna$

    \[a^xlna=0\] \[корней\ нет.\] \[f'\left(x\right) >0\]

    Функция возрастает на всей области определения.

  6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

  7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке $(0,1)$.

  8. $f''\left(x\right)={\left(a^xlna\right)}'=a^x{ln}^2a$

    \[a^x{ln}^2a=0\] \[корней\ нет.\] \[f''\left(x\right) >0\]

    Функция выпукла на всей области определения.

  9. Поведение на концах области определения:

    \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]
  10. График (рис. 1).

График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.

Рисунок 1. График функции $f\left(x\right)=a^x,\ при\ a >1$.

Показательная функция $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Введем свойства показательной функции, при $0

  1. Область определения -- все действительные числа.

  2. $f\left(-x\right)=a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ -- функция ни четна, ни нечетна.

  3. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

  4. Область значения -- интервал $(0,+\infty )$.

  5. $f'(x)=\left(a^x\right)'=a^xlna$

    \[a^xlna=0\] \[корней\ нет.\] \[f'\left(x\right)Функция убывает на всей области определения.
  6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

  7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,1)$.

  8. $f''\left(x\right)={\left(a^x{ln}^2a\right)}'=a^x{ln}^3a$

    \[a^x{ln}^3a=0\] \[корней\ нет.\] \[f''\left(x\right)>0\]

    Функция выпукла на всей области определения.

  9. Поведение на концах области определения:

    \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=0\]
  10. График (рис. 2).

Готовые работы на аналогичную тему

График функции

Пример задачи на построение показательной функции

Исследовать и построить график функции $y=2^x+3$.

Решение.

Проведем исследование по примеру схемы выше:

  1. Область определения -- все действительные числа.

  2. $f\left(-x\right)=2^{-x}+3$ -- функция ни четна, ни нечетна.

  3. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения.

  4. Область значения -- интервал $(3,+\infty )$.

  5. $f'\left(x\right)={\left(2^x+3\right)}'=2^xln2>0$

    Функция возрастает на всей области определения.

  6. $f(x)\ge 0$ на всей области определения.

  7. Пересечение с осями координат. Функция не пересекает ось $Ox$, но пересекает ось $Oy$ в точке ($0,4)$

  8. $f''\left(x\right)={\left(2^xln2\right)}'=2^x{ln}^22>0$

    Функция выпукла на всей области определения.

  9. Поведение на концах области определения:

    \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } a^x\ }=0\] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } a^x\ }=+\infty \]
  10. График (рис. 3).

График функции $f\left(x\right)=2^x+3$

Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=2^x+3$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис