Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формула Эйлера для комплексных чисел

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Комплексные числа и многочлены / Формула Эйлера для комплексных чисел
Формула Эйлера для комплексных чисел

Формула Эйлера названа именем известного математика Л. Эйлера, который ввел данную формулу. Формула Эйлера позволяет связать комплексную экспоненту (показательную функцию) с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного (действительного) и комплексного числа $x$ выполняется следующее равенство:

\[e^{ix} =\cos x+i\cdot \sin x,\]

где $e$ -- экспонента, $i$ -- мнимая единица.

Экспонента определяется следующей формулой:

\[e=\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} .\]

Для некоторого комплексного числа $z=x+yi$ выполняется:

\[e^{z} =e^{x+yi} =e^{x} \cdot e^{iy} .\]

В случае, когда $z$ является вещественным числом $(Imz=0)$, получаем

\[e^{z} =e^{x+0i} =e^{x} \cdot e^{0} =e^{x} .\]

Если $z$ является чисто мнимым числом $(Rez=0)$, получаем:

\[e^{z} =e^{0+yi} =e^{0} \cdot e^{iy} =e^{iy} .\]

Далее используя формулу Эйлера, получаем следующее:

\[e^{z} =e^{x+yi} =e^{x} \cdot e^{iy} =e^{x} \cdot (\cos y+i\cdot \sin y).\]

Рассмотрим некоторое комплексное число $z$, записанное в тригонометрической форме $z=r(\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$, где $r=|z|=\sqrt{x^{2} +y^{2} } $ является модулем этого комплексного числа. С помощью формулы Эйлера, получаем

\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot e^{i\cdot \varphi } .\]

С помощью формулы Эйлера появляется возможность определить функции $\sin $ и $\cos $ следующими формулами:

\[\sin x=\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \] \[\cos x=\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \]

Введем понятие тригонометрических функций от комплексной переменной. Для $x=iy$ получаем следующие формулы:

\[\sin iy=\frac{e^{-y} -e^{y} }{2i} =i\cdot shy\] \[\cos iy=\frac{e^{-y} +e^{y} }{2} =chy\]

Известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант:

\[e^{i\pi } +1=0\]

является частным случаем формулы Эйлера при значении переменной $x=\pi $.

Благодаря формуле Эйлера появились тригонометрическая и показательная формы представления комплексного числа.

\[z=a+bi=|z|\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )=r\cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi ).\]
Определение 1

Представление некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ является модулем комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ является аргументом комплексного числа $z$, который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Рассмотрим комплексное число, представленное в тригонометрической форме

\[z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ).\]

С помощью формулы Эйлера, получим:

\[\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi } .\]

Подставим полученное значение в тригонометрическую запись некоторого комплексного числа и получим:

\[z=r\cdot e^{i\varphi } .\]
Определение 2

Представление некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^{i\varphi } $ называется показательной формой записи, где число $r$ является модулем комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2} +b^{2} } $, $\varphi $ является аргументом комплексного числа $z$, который определяется по формуле $\varphi =arctg\frac{b}{a} $.

Значительным следствием из формулы Эйлера считаются формулы возведения некоторого комплексного числа в степень с произвольным показателем:

\[z=r\cdot e^{i\cdot \varphi } , z^{n} =r^{n} \cdot e^{n\cdot i\cdot \varphi } .\]

Геометрический смысл последней формулы таков: при возведении некоторого числа $z$ в заданную степень $n$ его модуль (расстояние до центра) возводится в заданную степень $n$, а аргумент (угол поворота относительно оси $OX$) увеличивается соответственно в $n$ раз (рис. 1).

Геометрический смысл формулы

Рис. 1.

Формула возведения в степень заданного комплексного числа верна не только для целых $n$, но и для действительных чисел. В частности, комплексная форма представления числа позволяет найти корни любой степени из произвольного комплексного числа.

Пример 1

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

1) $z=2+0\cdot i$; 2) $z=\frac{3}{2} +\frac{3}{2} \cdot i$.

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.

1) По условию $a=2,b=0$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{2^{2} +0^{2} } =2\]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{0}{2} =arctg0=0.\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=2\cdot e^{i\cdot 0} .\]

Следовательно, $z=2\cdot e^{i\cdot 0} $ - искомое представление комплексного числа.

2) По условию $a=\frac{3}{2} ,b=\frac{3}{2} $.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

\[r=\sqrt{\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(\frac{3}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{9}{4} +\frac{9}{4} } =\sqrt{\frac{18}{4} } =\frac{3\sqrt{2} }{2} \]

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac{3/2}{3/2} =arctg1=\frac{\pi }{4} .\]

Подставим полученные значения и получим:

\[z=\frac{3\sqrt{2} }{2} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } .\]

Следовательно, $z=\frac{3\sqrt{2} }{2} \cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{4} } $ - искомое представление комплексного числа.

Пример 2

Представить заданные комплексные числа в показательной форме:

1) $z=\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{6} +i\sin \frac{\pi }{6} )$; 2) $z=5\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$.

Решение:

Показательная форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=r\cdot e^{i\varphi } $.

1) Определим значения модуля и аргумента: $r=\sqrt{3} ,\, \, \varphi =\frac{\pi }{6} $.

Представление числа в показательной форме имеет следующий вид: $z=\sqrt{3} \cdot e^{\frac{\pi }{6} \cdot i} $.

2) Определим значения модуля и аргумента: $r=5,\, \, \varphi =2\pi $.

Представление числа в показательной форме имеет следующий вид: $z=5\cdot e^{2\pi \cdot i} $.

Пример 3

Представить заданные комплексные числа в алгебраической форме:

1) $z=3\cdot e^{\frac{\pi }{3} \cdot i} $; 2) $z=6\cdot e^{\pi \cdot i} $.

Решение:

Алгебраическая форма представления некоторого комплексного числа имеет следующий вид $z=a+bi$.

1) Запись числа в тригонометрической форме имеет следующий вид: $z=3\cdot (\cos \frac{\pi }{3} +i\sin \frac{\pi }{3} )$.

По таблице косинусов и синусов $\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2} ;\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt{3} }{2} $.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i.\]

Следовательно, $z=\frac{3}{2} +\frac{3\sqrt{3} }{2} \cdot i$ - искомая запись комплексного числа.

2) Запись числа в тригонометрической форме представления имеет следующий вид: $z=6\cdot (\cos \pi +i\sin \pi )$.

По таблице косинусов и синусов $\cos \pi =-1;\sin \pi =0$.

Подставим значения и выполним преобразования и вычисления:

\[z=3\cdot \left(-1+0\cdot i\right)=-1+0\cdot i.\]

Следовательно, $z=-1+0\cdot i$ - искомое представление комплексного числа.

comments powered by HyperComments