Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Обратные тригонометрические функции

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Тригонометрические функции / Обратные тригонометрические функции

Арксинус

Рассмотрим на множестве $X=\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ функцию $y=sinx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=sinx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Эта обратная функция называется арксинусом и обозначается $x=arcsiny$.

В более привычной для нас записи имеем $y=arcsinx$. График функции арксинуса изображен на рисунке 1.

График функции арксинуса.

Рисунок 1. График функции арксинуса.

Арккосинус

Рассмотрим на множестве $X=\left[0,\pi \right]$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left[0,\pi \right]$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left[0,\pi \right]$. Эта обратная функция называется арккосинусом и обозначается $x=arccosy$.

В более привычной для нас записи имеем $y=arccosx$. График функции арккосинуса изображен на рисунке 2.

График функции арккосинуса.

Рисунок 2. График функции арккосинуса.

Арктангенс

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\eth }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Эта обратная функция называется арктангенсом и обозначается $x=arctgy$.

В более привычной для нас записи имеем $y=arctgx$. График функции арктангенса изображен на рисунке 3.

График функции арктангенса.

Рисунок 3. График функции арктангенса.

Арккотангенс

Рассмотрим на множестве $X=(0,\pi )$ функцию $y=ctgx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=(0,\pi )$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=ctgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $(0,\pi )$. Эта обратная функция называется арккосинусом и обозначается $x=arcctgy$.

В более привычной для нас записи имеем $y=arcctgx$. График функции арккотангенса изображен на рисунке 4.

График функции арккосинуса.

Рисунок 4. График функции арккосинуса.

Таблица значений обратных тригонометрических функций



Рисунок 5.

Пример 1

Используя график функции $y=arcsinx$ запишем основные свойства данной функции.

  1. Область определения $\left[-1,1\right]$.
  2. Область значения $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$.
  3. Функция нечетна.
  4. Функция непериодическая.
  5. Функция проходит через начало координат.
  6. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (0,1]$.
  7. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in [-1,0)$.
  8. Функция возрастает на всей области определения.
  9. Функция непрерывна на всей области определения.

Исследование остальных трех обратных тригонометрических функций предоставляем читателю.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис