Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Все предметы / Математика / Арксинус, арккосинус и арктангенс числа
Содержание статьи

Функции с приставкой arc — это функции, обратные тригонометрическим. Например, для функции $sinα$ обратной функцией является её арксинус, записывается как $arcsinα$, а для функции косинуса обратной будет функция арккосинус, записывается как $arccosα$. Проще говоря, обратные тригонометрическим функции с приставкой $arc$ являются множеством значений углов $α$, от которых берётся какая-либо обычная тригонометрическая функция, также иногда функции с приставкой $arc$ используют как меру длины дуги, ограничивающей угол $α$.

Единичная окружность. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Единичная окружность. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим теперь непосредственно определения для функций арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс по отдельности.

Арксинус числа

Определение 1

Арксинус числа $x$ — это множество значений углов, для которых $sinα = x$. Также определение арксинуса можно записать так: $arcsin(x) = α$.

Рассмотрим рисунок 1, на котором изображена окружность с радиусом, равным единице. Как мы помним, $sinα$ — это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, численно он равен длине стороны $AC$. Так как арксинус его обратная функция и есть не что иное как угол, от которого берётся синус, свойства арксинуса очень похожи на свойства синуса:

  • Область определения функции арксинуса $D(y)= \ [-1;1\ ]$, для синуса $D(y)=\ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$;
  • Область значения для арксинуса $E = \ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$, для синуса $E = \ [-1;1\ ]$
  • Функции синуса и арксинуса обе возрастающие;
  • Функции арксинуса и синуса обе нечётные, то есть: $arcsin(-x)= -arcsinx$;
  • Функция $y=arcsin(x)$ равна нулю при $x=0$.

Готовые работы на аналогичную тему

График арксинуса выглядит следующим образом:

График арксинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. График арксинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арккосинус числа

Определение 2

Арккосинус числа $x$ — это множество значений углов, для которых $cosα = x$, то есть это значение угла.

Свойства арккосинуса в сравнении с косинусом:

  • Область определения функции арккосинуса $D(y)= \ [-1;1\ ]$, для косинуса $D(y)=\ [0; π\ ]$;
  • Область значения для арккосинуса $E = \ [0; π\ ]$, для косинуса $E = \ [-1;1\ ]$;
  • График функции арккосинуса симметричен относительно точки $(0; \frac{ π}{2})$, следовательно, он не является ни чётным, ни нечётным, в отличии от функции косинуса, которая является чётной;
  • График функции арккосинуса $y= arccos(x)$ является убывающим, это происходит на всей его области определения, так же, как и c графиком косинуса.
  • Функция $y=arccos(x)$ равна нулю при $x=1$.

График арккосинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. График арккосинуса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арктангенс числа

Определение 3

Арктангенс числа $x$ — это множество значений углов, для которых $tgα = x$.

Свойства арктангенса:

  • $D(y)= \ [-\infty;1\ ]$;
  • $E = \ [-\frac{π}{2};\frac{π}{2}\ ]$;
  • Данная функция нечётная;
  • Функция $y= arctgx$ возрастающая на всей области определения;
  • Функция $y= arctgx$ равна нулю при $x=0$.

График арктангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. График арктангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Арккотангенс

Определение 4

Арккотангенс числа $x$ — это множество значений углов, для которых $ctgα = x$.

Свойства функции арккотангенса:

  • $D(y)= \ [-\infty;1\ ]$;
  • $E = \ [0; π\ ]$;
  • Данная функция не является ни чётной, ни нечётной;
  • Функция $y= arcсtgx$ убывает на всей области определения;

График арккотангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. График арккотангенса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Найдите значение следующих выражений: $arcsin(\frac{1}{2}), arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}), arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}), arccos(-\frac{1}{2})$.

Решение:

$arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$

$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{π}{4}$

$arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{4}$

Здесь мы имеем арккосинус отрицательного числа $arccos(-\frac{-1}{2})$, для того чтобы его вычислить, необходимо прибегнуть к следующей формуле: $arccos(-α) = π – arccos(α)$

$arccos(-\frac{-1}{2}) = π – arccos(\frac{-1}{2}) = π – \frac{π}{3} = \frac{2π}{3}$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис