Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формула нахождения вершины параболы

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Парабола / Формула нахождения вершины параболы
Формула нахождения вершины параболы
Определение 1

Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.

Что значит вершина параболы

Определение 2

Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$.

Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.

Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.

Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$.

Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.

Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией

Пример уравнения и графика квадратичной параболы

Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы

Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина такой параболы находится в произвольной точке.

Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.

Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:

  1. Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
  2. Найдите абсциссу вершины параболы ($x$ вершины) по формуле $x = - \frac{b}{2a}$, для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
  3. Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$.
  4. Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$.
Пример 1

Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$

  1. Коэффициенты этой параболы $a = 1$, $b = -5$, $c = 7$.
  2. Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = - \frac{b}{2a}= \frac{5}{2}=2.5$
  3. Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
  4. $y = 2,5^2 – 5 \cdot 2.5 + 7$
  5. $y = 0,75$
  6. Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.

Вершина кубической параболы

Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.

Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.