Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Натуральные числа

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Натуральные числа

История

Натуральные числа и различные системы для их обозначения использовались еще в древних цивилизациях: Древнем Междуречье, Древнем Египте, Древнем Китае, в племенах Майя. Понятие числа «ноль», по видимому, появилось позже понятия натуральных чисел в позднем Вавилоне и у Майя.

Замечание 1

В самые древние времена для счета использовали палочки. Такой способ записи сохранился в римском исчислении. Число при такой записи представляло собой сумму или разность палочек, которая была записана без каких-либо знаков.

С развитием систем счисления определенные числа стали обозначать буквами алфавита. В современных системах счисления значение каждой цифры числа определяет ее место в записи числа. Первой такой системой счисления была вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Вариантом индийской десятичной системой счисления является современная арабская система с тем различием, что в индийской системе отсутствовал ноль. Цифру $0$ придумали арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Для счисления времени используется шестидесятеричная система (за основу взято число $60$): $1$ час содержит $60$ минут, $1$ минута -- $60$ секунд.

В работах математика Пьера де Ферма были положены основы теории чисел или высшей арифметики как отдельной науки, которая изучает чистые, формальные свойства натуральных чисел.

Натуральные числа. Множество натуральных чисел

Натуральные числа $1, 2, 3, \dots$ используются для счёта (одна груша, две груши, три груши и т.д.) или для указания порядкового номера предмета среди ему подобных.

Натуральные числа принято записывать с помощью арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.



Рисунок 1.

Определение 1

Натуральные числа (или естественные числа) -- числа, которые возникают естественным образом при подсчете чего-либо.

Пример 1

Натуральными будут числа: $3, 48, 157, 1089, 25556$.

Если выстроить все натуральные числа в порядке их возрастания, то получим натуральный ряд.

Для определения натуральных чисел существует два подхода:

  1. Числа, которые возникают при подсчете (нумерации) предметов (например, первый, второй и т.д.).

  2. Числа, которые используют для обозначения количества предметов (нет стула, один стул, два стула и т.д.).

При первом подходе натуральный ряд начинается с единицы, при втором -- с нуля.

Математики не пришли к единому выводу считать ли ноль натуральным числом. В большинстве российских источников традиционным является первый подход. Второй подход широко используется в программировании (например, при индексации массивов, нумерации битов машинного кода и т.д.).

Замечание 2

К натуральным числам не относятся ни отрицательные, ни нецелые числа.

Определение 2

Множество всех натуральных чисел обозначается $N=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots ,\ n,\ \dots \right\}$ и характеризуется своей бесконечностью, т.к. для любого натурального числа $n$ существует натуральное число, которое будет большее $n$.

Пример 2

Какие из чисел являются натуральными?

\[-6;\ \ 5;\ \ 0,6;\ \ \ \frac{1}{2};\ \ \ \sqrt[3]{5};\ \ 38;\ \ \ -38;\ \ 12,5;\ \ 4.\]

Ответ: $5;\ \ 38;\ \ \ 4.$

При формулировке и доказательстве многих теорем арифметики натуральных чисел удобно использовать и ноль, поэтому при первом подходе применяется понятие расширенного множества натуральных чисел, которое содержит ноль и обозначается $N_0$ или $Z_0$.

Ноль как натуральное число

В русской литературе принято исключать нуль из числа натуральных чисел ($0\notin N$), а множество натуральных чисел с нулём обозначают $N_0$.

В международной математической литературе множество $\left\{1,\ \ 2,\ \ 3,\ \dots \right\}$ принято называть множеством положительных целых чисел и обозначать $Z+$. Множество $\left\{0,\ \ 1,\ \ 2,\ \dots \right\}$ принято называть множеством неотрицательных целых чисел и обозначать $Z{\ge 0}$.

Чтобы прочитать натуральное число, нужно выполнить следующие действия:

  1. Разбить число справа налево на группы из $3$ цифр.

  2. Прочитать слева направо по очереди группы из $3$ цифр и добавить название класса.

  3. Название класса пропускают, если в группе цифр все нули.



Рисунок 2.

Каждую цифру класса называют разрядом класса.

Меньшим натуральным числом является то, которое при проведении подсчета используется раньше. Например, число $9$ меньше $20$ (записывается $9 55$.

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество $N$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент единица $1\in N$ и функция следования $S:N\to N$ так, что выполнены следующие условия:

  1. $1\in N$: единица является натуральным числом.

  2. Если $x\in N$, то $S\left(x\right)\in N$: Если число -- натуральное, то следующее число за ним тоже натуральное}.

  3. $\nexists x\in N\ \left(S\left(x\right)=1\right)$: Не существует натурального числа, которое находится перед единицей}.

  4. Если $S\left(b\right)=a$ и $S\left(c\right)=a$, тогда $b=c$: Если натуральное число $a$ следует за числом $b$ и за числом $c$, то $b=c$.

  5. Аксиома индукции. Пусть $P\left(n\right)$ -- некоторый одноместный предикат, который зависит от натурального числа $n$. Тогда:

Если $P\left(1\right)$ и $\forall n\left(P\left(n\right)\Longrightarrow P\left(S\left(n\right)\right)\right)$, то $\forall n\ P\left(n\right)$:

Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ и для любого $n$ из истинности $P\left(n\right)$ следует истинность $P\left(n+1\right)$, то $P\left(n\right)$ верно для любого натурального $n$.

Все аксиомы отражают представление о натуральном ряде и числовой линии.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге--Рассела)

По теории множеств единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, исходя из понятия множества натуральные числа вводятся по двум правилам:

  • $0=\emptyset $
  • $S\left(n\right)=n\cup \left\{n\right\}$

  • Заданные таким образом числа называются порядковыми или ординальными.

Описываются первые порядковые числа и натуральные числа, которые им соответствуют, следующим образом:

  • $0=\emptyset $

  • $1=\left\{0\right\}=\left\{\emptyset \right\}$

  • $2=\left\{0,\ \ 1\right\}=\left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\}\right\}$

  • $3=\left\{0,\ \ 1,\ \ 2\right\}=\left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\},\ \ \left\{\emptyset ,\ \ \left\{\emptyset \right\}\right\}\right\}$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис