Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Натуральный логарифм и число е

Содержание статьи

Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.

Число $e$

Определение 1

Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.

Определение 2

Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Определение 3

Число $e$ является пределом выражения $(1+\frac{1}{k})^k$ при $k$, которое стремится к бесконечности:

$e = \lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k$

Замечание 1

Последней формулой описывается второй замечательный предел.

Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.

Замечание 2

Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой». Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.

Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}⁡a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln ⁡a$.

Натуральный логарифм

Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.

Определение 4

Логарифм с основанием $е$ называют натуральным.

Готовые работы на аналогичную тему

Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}⁡a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln ⁡a$.

Свойства натурального логарифма

  1. Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:

    $\ln ⁡1=0$.

  2. Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:

    $\ln ⁡e=1$.

  3. Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:

    $\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

  4. Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:

    $\ln⁡\frac{a}{b}=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

  5. Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:

    $\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Пример 1

Упростить выражение $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}$.

Решение.

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$\frac{2 \ln ⁡4e-\ln⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=\frac{2(\ln ⁡4+\ln ⁡e )-\ln⁡ 4^2}{\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac{1}{2} \ln⁡ 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln ⁡e=1$:

$=\frac{2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4}{\ln ⁡5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln ⁡5}=\frac{2}{\ln ⁡5+1-\ln ⁡5}=2$.

Ответ: $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Найти значение выражения $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac{1}{2e}$.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

$\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e^2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln ⁡e=1$.

Ответ: $\ln 2e^2+\ln \frac{1}{2e}=1$.

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^{-1}+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+15=13$.

Ответ: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4=\ln 2^{-3}-3 \ln 2^2=-3 \ln⁡2-3 \cdot 2 \ln ⁡2=-9 \ln ⁡2$.

Ответ: $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4=-9 \ln ⁡2$.

Пример 5

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{e^4}{25}$.

Решение.

Применим свойство логарифма частного:

$\ln⁡ \frac{e^4}{25}=\ln e^4-\ln ⁡25=$

во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:

$=\ln e^4-\ln 5^2=$

применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:

$=4 \ln ⁡e-2 \ln ⁡5=$

применив свойство $\ln ⁡e=1$, получим:

$=4-2 \ln ⁡5$.

Ответ: $\ln \frac{e^4}{25}=4-2 \ln ⁡5$.

Пример 6

Вычислить значение логарифмического выражения $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27$.

Решение.

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac{3}{e})^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Ответ: $3 \ln \frac{9}{e^2}-2 \ln ⁡27=-6$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис