Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Многочлены от нескольких переменных

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Показательная функция / Многочлены от нескольких переменных
Многочлены от нескольких переменных

Понятие многочлена

Определение 1

Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен -- это сумма одночленов.

Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.

Определение 3

Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.

Определение 4

Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 6

Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 7

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.

Определение 8

Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.

Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 9

Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.

Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример

Пример 2

Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{4xy}^5+{10x}^5\]

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Произведения одночлена и многочлена

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен.

  • составляется произведение.
  • раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
  • группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
  • перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Пример 3

Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение.

Составим произведение:

\[(-m^2n\ )\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)\]

Перемножив, получим:

\[-m^4n^3+m^4n\ +{m^2n}^3\]

Произведение двух многочленов

Правило умножения многочлена на многочлен: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Пример 4

Умножим многочлен $\left(1-4x^2\right)\ на\ многочлен\ (5y^2-3x-2)$

Составим произведение:

\[(1-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]

Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:

\[5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2\]

Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, следовательно:

Ответ: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.

Примеры задач на многочлены от нескольких переменных

Пример 5

Перемножить многочлены $(a^2+b+1)\ и\ (a^2-24b+6)$ и полученный результат привести к стандартному виду.

Решение.

Составим произведение:

\[(a^2+b+1)\cdot (a^2-24b+6)\]

Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:

\[a^4-24a^2b+6a^2+a^2b-24b^2+6b+a^2-24b+6\]

Приведем данный многочлен к стандартному виду:

\[a^4-23a^2b+7a^2-24b^2-18b+6\]

Ответ: $a^4-23a^2b+7a^2-24b^2-18b+6$.