Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Многочлены от двух переменных

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Показательная функция / Многочлены от двух переменных

Понятие многочлена от двух переменных

Многочлен от двух переменных является частным случаем многочлена от нескольких переменных. Напомним сначала понятие многочлена и связанные с этим понятием определения.

Определение 1

Многочлен -- это сумма одночленов.

Определение 2

Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.

Определение 3

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 4

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Введем теперь непосредственно определение многочлена от двух переменных.

Определение 5

Многочлен, члены которого имеют только две различные переменные называется многочленом от двух переменных.

Пример: ${6y}^6+{13xy}^5$.

Над двучленами можно проводить следующие действия: двучлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать двучлен на одночлен и возводить в какую-либо степень.

Сумма многочленов от двух переменных

Рассмотрим сумму двучленов на примере

Пример 1

Сложим двучлены ${xy}^5+{3x}^5$ и ${3x}^5-{xy}^5$

Решение.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)+({3x}^5-{xy}^5)\]

Раскроем скобки:

\[{xy}^5+{3x}^5+{3x}^5-{xy}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{6x}^5\]

Ответ: ${6x}^5$.

Разность многочленов от двух переменных

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример

Пример 2

Вычтем из двучлена ${xy}^5+{3x}^5$ двучлен ${3x}^5-{xy}^5$

Решение.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

\[\left({xy}^5+{3x}^5\right)-({3x}^5-{xy}^5)\]

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

\[{xy}^5+{3x}^5-{3x}^5+{xy}^5\]

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

\[{2xy}^5\]

Ответ: ${2xy}^5$.

Произведения одночлена и многочлена от двух переменных

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен

  • составляется произведение.
  • раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
  • группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
  • перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Пример 3

Умножим одночлен $x^2y$ на многочлен $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Решение.

Составим произведение:

\[x^2y\cdot (x^2y^2-x^2-y^2)\]

Раскроем скобки:

\[x^2y\ \ \cdot x^2y^2+x^2y\ \cdot x^2+x^2y\ \ \cdot y^2\]

Перемножив, получим:

\[x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3\]

Ответ: $x^4y^3+x^4y\ +{x^2y}^3$.

Произведение двух многочленов с двумя переменными

Правило умножения многочлена на многочлен: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Пример 4

Перемножить многочлены $2x+y$ и $x^2+2y+3$.

Решение.

Запишем произведение:

\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]

Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:

\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Ответ: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.

Возведение многочлена от двух переменных в степень

Рассмотрим возведение в степень на примере

Пример 5

Возведем в квадрат многочлен $x+y-xy$

Решение.

Запишем степень

\[{\left(x+y-xy\right)}^2\]

Любую степень всегда можно записать в виде произведения:

\[{\left(x+y-xy\right)}^2=\left(x+y-xy\right)(x+y-xy)\]

Раскроем скобки:

\[\left(x+y-xy\right)\left(x+y-xy\right)=x^2+xy-x^2y+xy+y^2-xy^2-x^2y-xy^2+x^2y^2\]

Приведем многочлен к стандартному виду:

\[x^2+xy-x^2y+xy+y^2-xy^2-x^2y-xy^2+x^2y^2=\] \[=x^2+y^2+2xy-2x^2y-2xy^2+x^2y^2\]

Ответ: $x^2+y^2+2xy-2x^2y-2xy^2+x^2y^2$

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис