Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Многочлены

Понятие многочлена

Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Одночлен - это числа, переменные, их степени и произведения.

Напомним, что одночлены можно складывать друг с другом. Результатом сложения одночленов может быть как одночлен, так и многочлен. Что же тогда такое многочлен?

Определение 2

Многочлен - это сумма одночленов.

Так как суммой одночленов может быть также одночлен, то понятие одночлена можно считать частным случаем понятия многочлена.

Пример 1

${3ab}^5+{6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 3

Члены многочлена - это все одночлены, входящие в многочлен.

Пример 2

Многочлен ${3ab}^5+{6b}^6+{13aс}^5$ состоит из трех членов: ${3ab}^5,\ {6b}^6,{13aс}^5$.

Замечание

Отметим, что, так как одночлен - частный случай многочлена, то его можно считать многочленом, состоящим из одного члена.

Пример 3

$xy^2z^5$.

Здесь можно выделить также следующие определения:

Определение 4

Двучлен - многочлен, состоящий из двух членов.

Пример 4

${6b}^6+{13aс}^5$.

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 5

Трехчлен - многочлен, состоящий из трех членов.

Пример 5

${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Определение 6

Линейный двучлен - многочлен вида $ax+b$, где $a$ и $b$ конкретные числа отличные от нуля.

Пример 6

$\ 5x+3$.

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Стандартный вид многочлена

Определим понятие стандартного вида многочлена. Напомним следующее определение:

Определение 7

Стандартный вид одночлена - запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Введем понятие многочлена стандартного вида:

Определение 8

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Пример 7

${3x}^3+5x+89$.

Определение 9

Свободный член многочлена - член, не содержащий буквенных записей.

Пример 8

В многочлене ${3x}^3+5x+89$, число 89 - свободный член многочлена.

Степень многочлена

Для начала вспомним следующее определение:

Определение 10

Степень одночлена - сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 11

Степень многочлена стандартного вида - наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Пример 9

Найдем степень следующего многочлена: ${3ab}^3+{6b}^6+{13aс}^6$.

Степень одночлена ${3ab}^3$ равна 4,

Степень одночлена ${6b}^6$ равна 6,

Степень одночлена ${13aс}^6$ равна 7,

Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 7.

Определение 12

Степень многочлена произвольного вида - степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

То есть, для того чтобы найти степень произвольного многочлена, сначала надо привести его к стандартному виду, а затем найти степень полученного многочлена стандартного вида.

Коэффициенты многочлена

Напомним определение:

Определение 13

Коэффициент одночлена - число, записанное слева в стандартной записи одночлена.

Пусть теперь все члены многочлена являются одночленами, записанными в стандартном виде. Тогда

Коэффициенты многочлена - числа, записанные слева в стандартной записи одночленов, входящих в данный многочлен.

Примеры задач на нахождение степени многочлена

Пример 10

Найти степень многочлена стандартного вида ${xy}^9+y^6+{xz}^7$.

Решение.

Найдем степени членов многочлена:

Степень одночлена ${xy}^5$ равна 10,

Степень одночлена $y^6$ равна 6,

Степень одночлена ${xz}^5$ равна 8,

Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 10.

Пример 11

Найти степень многочлена ${3xy}^5+xyz+{2xy}^5+{5xz}^7$.

Решение.

Вначале приведем многочлен к стандартному виду:

\[{3xy}^5+xyz+{2xy}^5+{5xz}^7=xyz+{5xy}^5+{5xz}^7\]

Найдем степени членов многочлена:

Степень одночлена $xyz$ равна 3,

Степень одночлена ${5xy}^5$ равна 6,

Степень одночлена ${5xz}^7$ равна 8,

Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 8.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис