Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Многочлены

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Понятие многочлена

Для начала напомним следующее определение:

Определение 1

Одночлен - это числа, переменные, их степени и произведения.

Напомним, что одночлены можно складывать друг с другом. Результатом сложения одночленов может быть как одночлен, так и многочлен. Что же тогда такое многочлен?

Определение 2

Многочлен - это сумма одночленов.

Так как суммой одночленов может быть также одночлен, то понятие одночлена можно считать частным случаем понятия многочлена.

Пример 1

${3ab}^5+{6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 3

Члены многочлена - это все одночлены, входящие в многочлен.

Пример 2

Многочлен ${3ab}^5+{6b}^6+{13aс}^5$ состоит из трех членов: ${3ab}^5,\ {6b}^6,{13aс}^5$.

Замечание

Отметим, что, так как одночлен - частный случай многочлена, то его можно считать многочленом, состоящим из одного члена.

Пример 3

$xy^2z^5$.

Здесь можно выделить также следующие определения:

Определение 4

Двучлен - многочлен, состоящий из двух членов.

Пример 4

${6b}^6+{13aс}^5$.

Определение 5

Трехчлен - многочлен, состоящий из трех членов.

Пример 5

${xy}^5+y^6+{xz}^5$

Определение 6

Линейный двучлен - многочлен вида $ax+b$, где $a$ и $b$ конкретные числа отличные от нуля.

Пример 6

$\ 5x+3$.

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Стандартный вид многочлена

Определим понятие стандартного вида многочлена. Напомним следующее определение:

Определение 7

Стандартный вид одночлена - запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Введем понятие многочлена стандартного вида:

Определение 8

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Пример 7

${3x}^3+5x+89$.

Определение 9

Свободный член многочлена - член, не содержащий буквенных записей.

Пример 8

В многочлене ${3x}^3+5x+89$, число 89 - свободный член многочлена.

Степень многочлена

Для начала вспомним следующее определение:

Определение 10

Степень одночлена - сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 11

Степень многочлена стандартного вида - наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Пример 9

Найдем степень следующего многочлена: ${3ab}^3+{6b}^6+{13aс}^6$.

Степень одночлена ${3ab}^3$ равна 4,

Степень одночлена ${6b}^6$ равна 6,

Степень одночлена ${13aс}^6$ равна 7,

Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 7.

Определение 12

Степень многочлена произвольного вида - степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.

То есть, для того чтобы найти степень произвольного многочлена, сначала надо привести его к стандартному виду, а затем найти степень полученного многочлена стандартного вида.

Коэффициенты многочлена

Напомним определение:

Определение 13

Коэффициент одночлена - число, записанное слева в стандартной записи одночлена.

Пусть теперь все члены многочлена являются одночленами, записанными в стандартном виде. Тогда

Коэффициенты многочлена - числа, записанные слева в стандартной записи одночленов, входящих в данный многочлен.

Примеры задач на нахождение степени многочлена

Пример 10

Найти степень многочлена стандартного вида ${xy}^9+y^6+{xz}^7$.

Решение.

Найдем степени членов многочлена:

Степень одночлена ${xy}^5$ равна 10,

Степень одночлена $y^6$ равна 6,

Степень одночлена ${xz}^5$ равна 8,

Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 10.

Пример 11

Найти степень многочлена ${3xy}^5+xyz+{2xy}^5+{5xz}^7$.

Решение.

Вначале приведем многочлен к стандартному виду:

\[{3xy}^5+xyz+{2xy}^5+{5xz}^7=xyz+{5xy}^5+{5xz}^7\]

Найдем степени членов многочлена:

Степень одночлена $xyz$ равна 3,

Степень одночлена ${5xy}^5$ равна 6,

Степень одночлена ${5xz}^7$ равна 8,

Значит, степень данного многочлена стандартного вида равна 8.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис