Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Произведение одночлена и многочлена

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Многочлены / Произведение одночлена и многочлена
Произведение одночлена и многочлена

Напомним для начала, что такое одночлен и многочлен.

Определение 1

Одночлен - это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен - это сумма одночленов.

Одночлены и многочлены можно перемножать между собой.

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен. Одночлен с многочленом перемножаются по следующей схеме:

  • составляется произведение.
  • раскрываются скобки. Для того, чтобы раскрыть скобки при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
  • группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
  • перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Рассмотрим умножение одночлена на многочлен на примере:

Пример 1

Умножим одночлен $3xzy^2$ на многочлен ${xy}^5+y^6-{xz}^5$.

Составим произведение:

\[\left(3xzy^2\right)\cdot ({xy}^5+y^6-{xz}^5)\]

Раскроем скобки:

\[\left(3xzy^2\right)\cdot \left({xy}^5+y^6-{xz}^5\right)=\] \[=3xzy^2\cdot {xy}^5+3xzy^2\cdot y^6+3xzy^2\cdot (-{xz}^5)\]

Отметим, что последний член многочлена имеет коэффициент -1, поэтому в последнем случае мы умножаем одночлен на член $(-{xz}^5)$

Теперь сгруппируем числа с числами, одноименные переменные с одноименными переменными:

\[3xxy^2y^5z+3xy^2y^6z-1\cdot 3xxy^2zz^5\]

Перемножая, получим:

\[3x^2y^7z+3xy^8z-3{x^2y}^2z^6\]

Видим, что результатом умножения действительно получаем многочлен.

Примеры задач на умножение одночлена на многочлен

Пример 2

Выполнить умножение одночлена на многочлен:

а) $2z\ и\ (z^2-7z-3)$

б) $-4x^2\ и\ (5y^2-3x-2)$

в) $-5n^3\ и\ (3n^2-n^3+n)$

г) $10a\ и\ (a^2-24a+6)$

д) $-5ab\ и\ (a^2-2ab+b^2)$

е) $(-m^2n)$ и $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение:

а) $2z\ и\ (z^2-7z-3)$

Составим произведение:

\[(2z)\cdot (z^2-7z-3)\]

Раскроем скобки:

\[2z\cdot z^2+2z\cdot \left(-7z\right)+2z\cdot (-3)\]

Перемножив, получим:

\[2z^3-14z^2-6z\]

б) $-4x^2\ и\ (5y^2-3x-2)$

Составим произведение:

\[(-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-4x^2\right)\cdot 5y^2+\left(-4x^2\right)\cdot \left(-3x\right)+\left(-4x^2\right)\cdot (-2)\]

Перемножив, получим:

\[-20x^2y^2+12x^3+8x^2\]

в) $-5n^3\ и\ (3n^2-n^3+n)$

Составим произведение:

\[(-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-5n^3\right)\cdot 3n^2+\left(-5n^3\right)\cdot (-n^3)+\left(-5n^3\right)\cdot n\]

Перемножив, получим:

\[-15n^5+5n^6-5n^4\]

г) $10a\ и\ (a^2-24a+6)$

Составим произведение:

\[(10a)\cdot (a^2-24a+6)\]

Раскроем скобки:

\[10a\cdot a^2+10a\cdot (-24a)+10a\cdot 6\]

Перемножив, получим:

\[10a^3-240a^2+60a\]

д) $-5ab\ и\ (a^2-2ab+b^2)$

Составим произведение:

\[(-5ab\ )\cdot (a^2-2ab+b^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-5ab\ \right)\cdot a^2+\left(-5ab\ \right)\cdot (-2ab)+(-5ab\ )\cdot b^2\]

Перемножив, получим:

\[{-5a}^3b+10a^2b^2-5ab^3\]

е) $(-m^2n)$ и $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Составим произведение:

\[(-m^2n\ )\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Раскроем скобки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)\]

Перемножив, получим:

\[-m^4n^3+m^4n\ +{m^2n}^3\]