Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Разложение многочленов на множители методом группировки

Все предметы / Математика / Многочлены / Разложение многочленов на множители методом группировки
Содержание статьи

Сначала необходимо вспомнить метод разложения на множители с помощью вынесения общего множителя. Вспомним алгоритм.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

Замечание 1
  1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки.

  2. Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени.

  3. Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.

Пример 1

Вынести общий $b$ множитель:

a) $5a^6-{15a}^4b$

б) $45a^3-135ab$

Решение:

a)

  1. Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

    $5=1\cdot 5$

    $15=3\cdot 5$

    И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

    НОД=$5$

  2. Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

    $a^6=a^4\cdot a^2$

    $a^4=a^4\cdot 1$

    Переменная $b$ входит только во второй одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

  3. Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $5a^4$ - это и будет общий множитель. тогда:$5a^6{\rm -}{15a}^4b=5a^4(a^2-3b)$

Решение:

б)

  1. Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

    $45=3\cdot 3\cdot 5$

    $135=3\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

    И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

    НОД=$3\cdot 3\cdot 5=45$

  2. Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

    $a^3=a^2\cdot a$

    $a=a\cdot 1$

    Переменная $b$ входит только во второй одночлен, значит, в общий множитель не войдет.

  3. Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $45a$ - это и будет общий множитель. тогда: $45 a^3-135ab=45a(a^2-3b)$

    А теперь попробуем составить многочлен, состоящий из одночленов из п. а, б: $5a^6{\rm -}{15a}^4b+45a^3-135ab$

    Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой сформированной группе одночлены имели общий множитель

    $5a^6{\rm -}{15a}^4b+45a^3-135ab =(5a^6{\rm -}{15a}^4b)+(45a^3-135ab)$

Теперь мы вынесем общий множитель из каждой группы, мы уже подробно разъяснили этот процесс при решении п. а, б:

$5a^6{\rm -}{15a}^4b +45a^3-135ab =(5a^6{\rm -}{15a}^4b)+(45a^3-135ab)=5a^4\left(a^2-3b\right)+45a(a^2-3b)$

Теперь обратим внимание на то, что каждое слагаемое, представляющее собой произведение одночлена и многочлена содержат одинаковые многочлены, или проще - одинаковые скобки. Значит, этот общий множитель снова можно вынести за скобки:

$5a^6{\rm -}{15a}^4b +45a^3-135ab =(5a^6{\rm -}{15a}^4b)+(45a^3-135ab)=5a^4\left(a^2-3b\right)+45a (a^2-3b)= (a^2-3b)( 5a^4+45a)$

Обратим внимание, что многочлен стоящий во второй скобке можно еще упростить, вынеся общий множитель за скобки. Рассмотрим этот многочлен $5a^4+45a$

  1. Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители

    $5=1\cdot 5$

    $45=3\cdot 3\cdot 5$

    И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:

    НОД=$5$

  2. Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени

    $a^4=a^3\cdot a$

    $a=a\cdot 1$

  3. Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменной, найденной в п.3, получим: $5a$ - это и будет общий множитель. тогда: $5a^4+45a=5a(a^3+9)$

    Вернемся к нашему заданию и представим многочлен как произведение

    $5a^6{\rm -}{15a}^4b +45a^3-135ab=(5a^6{\rm -}{15a}^4b)+(45a^3-135ab)=5a^4\left(a^2-3b\right)+45a(a^2-3b)= (a^2-3b)( 5a^4+45a)= 5a(a^2-3b)(a^3+9)$

В данном задании мы разложили многочлен на множители методом группировки.

Алгоритм

Замечание 2
  1. Сгруппировать слагаемые так, чтобы в каждой сформированной группе одночлены имели общий множитель

  2. Разложить каждую группу на множители вынесением общего множителя за скобки

  3. Вновь вынести общий множитель за скобки.

Пример 2

Разложить на множители $ac-bd+bc-ad$

Решение:

  1. Сгруппировать слагаемые так, чтобы в каждой сформированной группе одночлены имели общий множитель: $ac-bd+bc-ad=(ac-ad)+(bc-bd)$

  2. Разложить каждую группу на множители вынесением общего множителя за скобки: $ac-bd+bc-ad=(ac-ad)+(bc-bd)=a(c-d)+b(c-d)$

  3. Вновь вынести общий множитель за скобки.

$ac-bd+bc-ad=(ac-ad)+(bc-bd)=a(c-d)+b(c-d)=(c-d)(a+b)$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис