Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Понятие дроби / Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов

Одночлен

Определение 1

Выражения, являющиеся произведением чисел, переменных и их степеней, называются одночленами. Например, ${6х}^2,-11\ \sqrt{у,\ }{34a}^5b^4$. Также одночленами являются и сами числа, например $-243$, и переменные, например, y и их степени, например $x^{23}$.

Стандартным видом записи одночлен является такая, в которой на первом месте произведения стоит число, далее в произведении записаны переменные по их следовании в алфавите.

Например, одночлен ${34a}^5b^4$ записан в стандартном виде, а одночлен ${b^434a}^5$ -- нет.

Число, стоящее на первом месте при стандартной записи одночлена, называется коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена ${34a}^5b^4$ равен $34$, а у одночлена $,-11\ \sqrt{y\ }$ равен $-11$.

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:

1) разложить числа на простые множители

2) выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

3) найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. разложить числа на простые множители

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

  2. Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=2\cdot 11=22$

Наибольший общий делитель одночленов

Определение 2

Одночлен, на который делится каждый из исходных одночленов, называется общим одночленом.

Например, для одночленов $a^2b^3$ и abc общим одночленом будет одночлен $ab$.

Наибольшим общим делителем одночленов будет являться одночлен, содержащий общие переменные с наибольшими показателями степеней.

Например, для одночленов $a^4b^3$ и $a^2b^5c^3$ наибольшим общим делителем будет $a^2b^3$.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух одночленов, необходимо:

1) найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов;

3) найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов.

Пример 2

Найти НОД одночленов ${\ \ 63a}^2b^6c^{11}\ $ и ${81a}^3b^4c^9$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. найти переменные, входящие в состав исходных одночленов

    ${a}^2b^6c^{11}\ $ и $a^3b^4c^9$

  2. выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов

    ${a}^2b^6c^{11}\ $ и $a^3b^4c^9$

    Найдем НОД коэффициентов одночленов, т.е. чисел $63$ и $81$

    Разложим числа на простые множители

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

    $НОД=3\cdot 3=9$

  3. Найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов

    $НОД({63a}^2b^6c^{11}\ $ и ${81a}^3b^4c^9)=9a^2b^4c^9$

Наименьшее общее кратное двух чисел

Определение 3

Общими кратными чисел называются числа, которые делятся на исходные без остатка. Например, для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д.

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

  1. Разложить числа на простые множители

  2. Выписать множители, входящие в состав первого числа, и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

Пример 3

Найти НОК чисел $9$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. Разложить числа на простые множители:

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    $77=7\cdot 11$

  2. Выписать множители, входящие в состав первого:

    $3,3,11 $

    Добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого:

    $7$

  3. Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

    $НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Определение 4

Общим кратным двух одночленов называется одночлен, который делится на исходные без остатка. Например, для одночленов $b^6c^{11}$ и ${\ b}^4c^9$ общими кратными будут одночлены $b^6c^{11}$, $b^7c^{22}$ и т.д. Наименьший из них и будет наименьшим общим кратным двух одночленов.

Чтобы найти НОК двух одночленов, необходимо:

1) Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

3) Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом.

Пример 4

Найти НОК${3a}^4b^7c^{12}d\ $ и ${8a}^3b^5c^9d^{12}$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

  1. Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов

    ${a}^4b^7c^{12}d\ $ и $a^3b^5c^9d^{12}$

  2. Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

    ${a}^4b^7c^{12}d\ $ и $a^3b^5c^9d^{12}$

  3. Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом

    $НОК{3a}^4b^7c^{12}d\ $;${8a}^3b^5c^9d^{12}= {a}^4b^7c^{12}d^{12}$