Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Разложение многочлена на множители

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Рассмотрим основные определения и теоремы о многочленах.

Определение 1

Функция

\[f(x)=A_{0} x^{n} +A_{1} x^{n-1} +...+A_{n} ,\]

где $n\in Z$, называется многочленом, число $n$ -- степень многочлена. Коэффициенты $A_{0} ,A_{1} ,...,A_{n} $при переменных являются действительными или комплексными числами.

Определение 2

Корень многочлена -- это значение переменной $x$, при котором заданный многочлен обращается в ноль.

Теорема 1

При делении многочлена $f(x)$ на $x-a$ получается остаток, который равен $f(a)$.

Следствие 1

Если $a$ есть корень заданного многочлена, т.е. $f(a)=0$, то заданный многочлен представляется в виде следующего произведения

\[f(x)=(x-a)\cdot f_{1} (x),\]

где $f_{1} (x)$ -- многочлен.

Теорема 2

Любая целая рациональная функция $f(x)$ имеет хотя бы один корень, вещественный (действительный) или комплексный.

Теорема 3

Любой многочлен степени $n$ может быть представлен как разложение многочлена на $n$ линейных сомножителей вида $x-a$ и множитель, который равен коэффициенту при $x^{n} $:

\[f(x)=A_{0} \cdot (x-a_{1} )\cdot (x-a_{2} )\cdot ...\cdot (x-a_{n} ),\]

где $a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} $ -- корни многочлена.

Пример 1

Записать разложение заданного многочлена $f(x)=x^{3} -6x^{2} +11x-6$ на множители.

Готовые работы на аналогичную тему

Решение:

При $x=1$ получаем $f(1)=0$. Следовательно, исходный многочлен делится на $x-1$ без остатка. После деления получаем разложение многочлена следующего вида:

\[x^{3} -6x^{2} +11x-6=(x-1)\cdot (x^{2} -5x+6).\]

Найдем корни второго сомножителя, который является квадратным многочленом:

\[x^{2} -5x+6=0\]\[D=(-5)^{2} -4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\]\[x_{1} =\frac{5-1}{2} =2,x_{2} =\frac{5+1}{2} =3\]

Получим разложение многочлена:

\[x^{3} -6x^{2} +11x-6=(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3).\]
Теорема 4

Если заданный многочлен тождественно равен нулю, то все коэффициенты этого многочлена равны нулю.

Теорема 5

Если два заданных многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного из этих многочленов равны соответствующим коэффициентам другого.

Пример 2

Определить коэффициенты многочлена $ax^{3} +bx^{2} +cx+d$ тождественно равного многочлену $2x^{2} +3x$.

Решение:

На основании теоремы 5 получаем, что $a=0,\, \, b=2,\, \, c=3,\, \, d=0$.

Если в разложении многочлена степени $n$ на линейные множители

$f(x)=A_{0} \cdot (x-a_{1} )\cdot (x-a_{2} )\cdot ...\cdot (x-a_{n} )$, (*)

некоторые линейные сомножители оказываются одинаковыми, то данные множители можно объединить, и тогда разложение данного многочлена на множители будет иметь следующий вид:

$f(x)=A_{0} \cdot (x-a_{1} )^{k_{1} } \cdot (x-a_{2} )^{k_{2} } \cdot ...\cdot (x-a_{n} )^{k_{m} } $ ($k_{1} +k_{2} +...+k_{m} =n$).

В формуле (*) корни многочлена $a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} $ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами.

Пример 3

Записать разложение на множители многочлена, имеющего корень $x=1$ кратности 2, корень $x=-3$ кратности 3.

Решение:

Искомое разложение запишется следующим образом:

\[f(x)=(x-1)^{2} \cdot (x+3)^{3} .\]
Определение 2

Многочленом $n$-ой степени называется функция

\[P_{n} (z)=a_{n} z^{n} +a_{n-1} z^{n-1} +a_{n-2} z^{n-2} +...+a_{1} z+a_{0} ,\]

где коэффициенты $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n-1} ,a_{n} $ -- постоянные комплексные числа, $a_{n} \ne 0$, $z\in Z$ -- комплексная переменная. Число $z_{0} $, при котором многочлен принимает нулевое значение ($P_{n} (z_{0} )=0$), называется корнем многочлена.

Теорема 6

Любой многочлен, степень которого $n\ge 1$, имеет комплексный корень.

Пример 4

Найти корни заданного многочлена $P(z)=z^{2} +2z+2$ и разложить на множители.

Решение:

\[z^{2} +2z+2=0\]\[D=2^{2} -4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4\]\[\begin{array}{l} {z_{1} =\frac{-2-\sqrt{-4} }{2} =\frac{-2-2\sqrt{-1} }{2} =\frac{-2-2i}{2} =-1-i,} \\ {z_{2} =\frac{-2+\sqrt{-4} }{2} =\frac{-2+2\sqrt{-1} }{2} =\frac{-2+2i}{2} =-1+i} \end{array}\]

$z_{1} =-1-i,z_{2} =-1+i$ - комплексные корни многочлена

Искомое разложение запишется следующим образом:

\[P(z)=z^{2} +2z+2=(z-(-1-i))\cdot (z-(-1+i)).\]

Многочлен $P_{n} (z)$ комплексной переменной $z$ с действительными коэффициентами $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n-1} ,a_{n} $ обладает следующими свойствами:

  • Если $\bar{z}$ - число, комплексно-сопряженное для числа $z$, то имеет место равенство $P_{n} (\bar{z})=\mathop{P_{n} (z)}\limits^{\_ \_ \_ \_ \_ } $.
  • Если некоторое число $z_{1} =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена $P_{n} (z)$, то число $z_{2} =\bar{z}_{1} =a-b\cdot i$ тоже является корнем заданного многочлена.
  • Если некоторое число $z_{1} =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена с действительными коэффициентами $P_{n} (z)$, то $P_{n} (z)$ без остатка делится на квадратный трехчлен $z^{2} +pz+q$, где $p=-2a,\; q=a^{2} +b^{2} $.
  • Если некоторое число $z_{1} =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена $P_{n} (z)$ кратности $k$, то число $z_{2} =\bar{z}_{1} =a-b\cdot i$ так же является корнем данного многочлена и той же кратности. В разложение заданного многочлена на множители наряду с линейными множителями $x-(a+bi)$ входит столько же линейных множителей $x-(a-bi)$.
Пример 5

Найти комплексные корни заданного многочлена $P(z)=z^{2} +2z+5$, используя свойства многочленов.

Решение:

\[z^{2} +2z+5=0\]\[D=2^{2} -4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16\]

$z_{1} =\frac{-2-\sqrt{-16} }{2} =\frac{-2-4\sqrt{-1} }{2} =\frac{-2-4i}{2} =-1-2i$ - комплексный корень многочлена.

Следовательно, на основании свойств число $z_{2} =-1+2i$ является корнем заданного многочлена.

Пример 6

Проверить выполнимость свойства $P_{n} (\bar{z})=\mathop{P_{n} (z)}\limits^{\_ \_ \_ \_ \_ } $ для многочлена $P(z)=z^{2} +2z+5$ и комплексного числа $z=1+i$.

Решение:

\[P_{2} (z)=P(1+i)=(1+i)^{2} +2\cdot (1+i)+5=1+2i+i^{2} +2+2i+5=7+4i\]\[P_{2} (\overline{z})=P(1-i)=(1-i)^{2} +2\cdot (1-i)+5=1-2i+i^{2} +2-2i+5=7-4i\]\[\overline{P_{2} (z)}=7-4i\]

Следовательно, равенство $P_{2} (\bar{z})=\mathop{P_{2} (z)}\limits^{\_ \_ \_ \_ \_ } $ является верным.

Примечание

Для многочленов определены следующие операции: сложение, вычитание, умножение. Операция деления многочленов определена не для любых двух многочленов, однако, как и для целых чисел, имеется возможность выполнить деление с остатком.

Пример 7

Вычислить сумму и разность двух многочленов:

$f_{1} (z)=(1+i)z^{3} +3z^{2} +(1-i)\cdot z+5$ и $f_{2} (z)=(1-3i)\cdot z^{3} +2z^{2} +(1+2i)\cdot z+1$.

Решение:

\[\begin{array}{l} {f_{1} (z)+f_{2} (z)=\left((1+i)\cdot z^{3} +3z^{2} +(1-i)\cdot z+5\right)+\left((1-3i)\cdot z^{3} +2z^{2} +(1+2i)\cdot z+1\right)=} \\ {=(1+i+1-3i)\cdot z^{3} +(3+2)\cdot z^{2} +(1-i+1+2i)\cdot z+(5+1)=(2-2i)\cdot z^{3} +5\cdot z^{2} +(2+i)\cdot z+6} \end{array}\]\[\begin{array}{l} {f_{1} (z)-f_{2} (z)=\left((1+i)\cdot z^{3} +3z^{2} +(1-i)\cdot z+5\right)-\left((1-3i)\cdot z^{3} +2z^{2} +(1+2i)\cdot z+1\right)=} \\ {=(1+i-1+3i)\cdot z^{3} +(3-2)\cdot z^{2} +(1-i-1-2i)\cdot z+(5-1)=4i\cdot z^{3} +z^{2} +(-3i)\cdot z+4} \end{array}\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис