Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Преобразование целых выражений

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Преобразование целых выражений

Понятие целого выражения

Определение 1

Выражение называется целым, если оно составлено из чисел и переменных с помощь таких операций как сложение, вычитание и умножение.

Из определения, очевидно, что одночлены и многочлены являются также целыми выражениями. Не целыми являются выражения, которые содержат в своей записи деление на переменную.

Пример 1

Выражение $xy+\frac{3}{x+1}+4$ не является целым, так как в знаменателе содержит переменную $x$.

Основными преобразованиями целых выражений является представление в виде многочлена и разложение на множители. Чаще всего при этом используются формулы сокращенного умножения. Напомним основные из них:

  1. $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

  2. ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

  3. ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

  4. $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$

  5. $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3$

Рассмотрим теперь две эти операции отдельно.

Представление в виде многочлена

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

Напомним, что такое многочлен.

Определение 2

Многочлен - это сумма одночленов.

Рассмотрим пример.

Пример 2

$\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n\left(n+1\right)(n-1)$

Используя формулу сокращения 1, получим:

\[\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n\left(n+1\right)\left(n-1\right)=\] \[=\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n(n^2-1)\]

Далее будем раскрывать скобки:

\[\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n\left(n^2-1\right)=\] \[=1-n^2-n+n^3+1+n^2+n+n^3-2n^3+2n=2+2n\]

Получили многочлен стандартного вида.

Разложение на множители

Для того чтобы разложить многочлен на множители, применяют такие приемы, как вынесение общего множителя за скобки, а также применяют формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим разложение на множители на примере:

Для начала сгруппируем первый член с третьим, а второй член с четвертым:

Из первой скобки вынесем $y^2$, а из второй $2$:

Применим первую формулу сокращенного умножения:

Вынесем за скобки выражение $(x-y)$

Замечание

!!! Здесь стоит отметить, что не каждый многочлен можно разложить на множители.

Примеры задач на преобразование целых выражений

Пример 3

Представить в виде многочлена:

а) $\left(a-3\right)\left(a^2+9\right)\left(a+3\right){-({2a}^2-a)}^2-19$

б) $\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right){-(x^2-1)}^2-2\left(x^2-3\right)+x$

Решение:

а) Воспользуемся формулами 1 и 3 сокращенного умножения, получим:

\[\left(a-3\right)\left(a^2+9\right)\left(a+3\right){-({2a}^2-a)}^2-19=\] \[=\left(a^2-9\right)\left(a^2+9\right)-\left({4a}^4-4a^3+a^2\right)-19=\] \[=a^4-81-{4a}^4+4a^3-a^2-19=4a^3-{3a}^4-a^2-100\]

б) Воспользуемся формулами 1 и 3 сокращенного умножения, получим:

\[\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right){-(x^2-1)}^2-2\left(x^2-3\right)+x=\] \[=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(x^4-2x^2+1\right)-2x^2+6+x=\] \[=x^4-1-x^4+2x^2-1-2x^2+6+x=4+x\]
Пример 4

Разложить на множители:

а) $4ab+12b-4a-12$

б) $60+6xy-30y-12x$

в) $-xyz-5xz-4xy-20x$

г) $n^3+n^2m+n^2+nm$

Решение:

а) $4ab+12b-4a-12$

Вынесем из первых двух членов $4b$, а из вторых $-4$:

\[4ab+12b-4a-12=4b\left(a+3\right)-4\left(a+3\right)\]

Вынесем за скобки $4\left(a+3\right)$:

\[4b\left(a+3\right)-4\left(a+3\right)=4\left(a+3\right)(b-1)\]

б) $60+6xy-30y-12x$

Вынесем из первого и третьего членов $30$, а из второго и четвертого $6x$:

\[60+6xy-30y-12x=30\left(2-y\right)+6x(y-2)\]

Вынесем за скобки $6\left(y-2\right)$:

\[30\left(2-y\right)+6x(y-2)=6\left(x-5\right)(y-2)\]

в) $-xyz-5xz-4xy-20x$

Вынесем из первого и третьего членов $xy$, а из второго и четвертого $5x$:

\[-xyz-5xz-4xy-20x=xy\left(-z-4\right)+5x(-z-4)\]

Вынесем за скобки $-x\left(z+4\right)$:

\[xy\left(-z-4\right)+5x\left(-z-4\right)=-x\left(z+4\right)(y+5)\]

г) $n^3+n^2m+n^2+nm$

Вынесем из первого и третьего членов $n^2$, а из второго и четвертого $nm$:

\[n^3+n^2m+n^2+nm=n^2\left(n+1\right)+nm(n+1)\]

Вынесем за скобки $n\left(n+1\right)$:

\[n^2\left(n+1\right)+nm\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)(n+m)\]
comments powered by HyperComments