Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы сокращенного умножения

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения

Формулы для возведения двучлена в $n$-ю степень

Если вспомнить уроки алгебры и математики, то для упрощения вычислений и преобразований различных выражений можно пользоваться заранее выведенными формулами. Одними из таких формул являются формулы возведения двучлена в $n-ю$ степень.

Данные формулы можно вывести с помощью бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:

${(a+b)}^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+\dots +C^{n-1}_nab^{n-1}+C^n_nb^n$

Здесь $C^0_n,\ C^1_n,\dots ,C^{n-1}_n,C^n_n$ - коэффициенты Бинома Ньютона.

Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (таблица 1).

Структура треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице:

Коэффициенты треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности

Используя Бином Ньютона можно легко найти формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности. Получим следующие формулы сокращенного сложения (далее – формулы ФСУ):

Квадрат суммы:

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Квадрат разности:

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Куб суммы:

${(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Куб разности:

${(a-b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Используя полученные ФСУ, можно выводить также формулы кубов и квадратов трехчленов и многочленов с 4-мя и выше количеством членов. Приведем пример такого вывода. Найдем квадрат суммы трехчлена:

${(a+b+c)}^2$

Для этого сделаем следующую замену. Пусть $a+b=t$, тогда

${(a+b+c)}^2={(t+c)}^2$

Воспользуемся ФСУ квадрата суммы:

${(t+c)}^2=t^2+2tc+c^2$

Вернемся к замене:

${(a+b)}^2+2(a+b)c+c^2$

Вновь воспользуемся формулой a2 b2 сумма квадратов:

${(a+b)}^2+2\left(a+b\right)c+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Другие формулы сокращенного умножения

Представим еще несколько формул сокращенного умножения.

  1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму:

    $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$

  2. Сумма кубов двух выражений а3+b3 равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

    $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$

  3. Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

    $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$

Примеры задач на применение формул сокр. умножения

Пример 1

Упростить уравнение:

а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$

б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$

в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$

г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$

Решение:

а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2=$

${=(x+8-x+2)}^2={10}^2=100$

б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$

Воспользуется формулами квадрата суммы и разности, и разности квадратов:

${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2=$

$=y^2+14y+49-2y^2+2+y^2-14y+49=100$

в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$

Воспользуемся формулой суммы кубов а3+b3:

$\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a\left(a^2+3\right)=$

$=a^3+125-a^3-3a=125-3a$

г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$

Воспользуемся формулой разности кубов и разности квадратов:

$\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)\left(b+1\right)=$

$={8b}^3-1-b^3+1={7b}^3$