Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Куб разности

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Формула куба разности является одной из формул сокращенного умножения. В основном, такие формулы основаны на таком понятии как Бином Ньютона. Поэтому сначала познакомимся с ним.

Бином Ньютона

Интересующая нас формула, как и многие другие, находятся с помощью формулы Бинома Ньютона.

Она будет иметь следующий вид:

$(α+β)^z=C_z^0 α^z+C_z^1 α^{z-1} β+C_z^2 α^{z-2} β^2+⋯+C_z^{z-1} αβ^{z-1}+C_z^z β^z$

Здесь числа $C_z^0,C_z^1,…,C_z^{z-1},C_z^z$ называются коэффициентами Бинома Ньютона. Чаще всего эти коэффициенты находятся с помощью треугольника Паскаля (Таблица 1).

Готовые работы на аналогичную тему

Вычисленные коэффициентов треугольника паскаля вы можете увидеть в таблице 2.

Формула куба разности через Бином Ньютона

Теперь, используя формулу Бинома Ньютона рассмотренную выше, мы можем вывести формулу куба разности $(α-β)^3$, учитывая, что

$(α-β)^3=(α+(-β))^3$ Из этой формулы получаем:

$(α-β)^3=C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 (-β)+C_3^2 a(-β)^2+C_3^3 (-β)^3$

Из таблицы 2, получаем:

$C_3^0 α^3+C_3^1 α^2 (-β)+C_3^2 a(-β)^2+C_3^3 (-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:

$(α-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Формула куба суммы через другие формулы

Помимо нахождения описанным выше способ, формулу куба разности можно также найти с помощью другой формулы сокращенного умножения, а именно квадрата разности:

$(α-β)^2=α^2-2aβ+β^2$

Итак, получаем:

$(α-β)^3=(α-β)^2 (α-β)=(α^2-2aβ+β^2 )(α-β)$

Далее, перемножая последние скобки, будем иметь:

$(α^2-2aβ+β^2 )(α-β)=α^3-α^2 β-2α^2 β+2aβ^2+aβ^2-β^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Следовательно, получаем что, куб разности двух выражений равняется разности кубов этих выражений, сложенным с произведением квадрата второго с первым, умноженного на три и с вычетом произведения квадрата первого со вторым, также умноженного на три, то есть:

$(α-β)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3$

Примеры задач

Пример 1

Найти куб выражения $(2x-3y)$

Решения

Из формулы куба разности, получаем:

$(2x-3y)^3=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3y+3\cdot 2x\cdot (3y)^2-(3y)^3=8x^3-36x^2 y+54xy^2-27y^3$

Замечание 1

Замечание: Особое внимание нужно обращать на то, что формулу необходимо применять к одночленам, входящим в сумму, целиком. Частой ошибкой в таком случае бывает, что в куб возводится только часть одночлена (к примеру, возводят не $3y$ целиком, а только $y$, что приводит к ошибке!!!)

Пример 2

Возвести в куб:

а) $(-8α+5β)^3$

б) $(q^2+7)^3$

Решение.

а) $(-8α+5β)^3$

Так как у нас нечетная степень, то мы можем вынести знак «минус» за скобки, получим:

$(-8α+5β)^2=-(8α-5β)^3$

Используем формулу куба суммы:

$(8α-5β)^3=(8α)^3-3\cdot (8α)^2\cdot 5β+3\cdot 8α\cdot (5β)^2-(5β)^3=512α^3-960α^2 β+600αβ^2-125β^3$

Окончательно

$(-8α+5β)^3=125β^3-512α^3+960α^2 β-600αβ^2$

б) $(q^2-7)^2$

Используем формулу куба суммы:

$(q^2-7)^2=(q^2)^3-3\cdot (q^2)^2\cdot 7+3\cdot q^2\cdot 7^2-7^3=q^6-21q^4+147q^2-343$

Пример 3

Представить в виде куба $8x^3-12x^2+6x-1$

Решение.

Это выражение можно записать следующим образом:

$8x^3-12x^2+6x-1=(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1-1^3$

Следовательно, по формуле куба суммы

$8x^3-12x^2+6x-1=(2x-1)^3$

Пример 4

Вывести формулу куба разности трех выражений.

Решение.

По условию задачи нам нужно раскрыть скобки в следующем выражении

$(α-β-γ)^3$

Считая $(α-β)$ за первый член суммы, а γ за второй, по формуле куба имеем

$(α-β-γ)^3=(α-β)^3-3(α-β)^2 γ+3(α-β) γ^2-γ^3$

По формулам куба и квадрата разности, подставляя и раскрывая скобки, будем получать

$(α+β+γ)^3=α^3-3α^2 β+3aβ^2-β^3-3α^2 γ+6αβγ-3β^2 γ+3αγ^2-3βγ^2-γ^3$

Окончательно

$(α-β-γ)^3=α^3-β^3-γ^3-3α^2 β-3α^2 γ-3β^2 γ-3βγ^2+3aβ^2+3αγ^2+6αβγ$

Таким образом, используя различные такие формулы можно вывести еще множество формул для сокращенного умножения и рационального преобразования выражений. В частности они помогают и при решений конкретных математический уравнений и задач.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис