Разность квадратов
Выведем формулу разности квадратов $a^2-b^2$.
Для этого вспомним следующее правило:
Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен $ab$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:
Итого, получим:
То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.
Представить в виде произведения ${4x}^2-y^2$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{4x}^2-y^2={(2x)}^2-y^2\]Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]Сумма кубов
Выведем формулу суммы кубов $a^3+b^3$.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:
Итого, получим:
То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.
Представить в виде произведения ${8x}^3+y^3$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{8x}^3+y^3={(2x)}^3+y^3\]Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]Разность кубов
Выведем формулу разность кубов $a^3-b^3$.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a-b\right)$:
Итого, получим:
То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
Представить в виде произведения ${8x}^3-y^3$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{8x}^3-y^3={(2x)}^3-y^3\]Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов
Разложить на множители.
а) ${(a+5)}^2-9$
б) $8-x^3y^3$
в) $-x^3+\frac{1}{27}$
Решение:
а) ${(a+5)}^2-9$
Запишем данное выражение в виде:
\[{{(a+5)}^2-9=(a+5)}^2-3^2\]Применяя формулу разности квадратов, получим:
\[{(a+5)}^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a+8)\]б) $8+x^3y^3$
Запишем данное выражение в виде:
\[8+x^3y^3=2^3+{(xy)}^3\]Применим формулу кумы кубов:
\[2^3+{(xy)}^3=\left(2+xy\right)(4-2xy+x^2y^2)\]в) $-x^3+\frac{1}{27}$
Запишем данное выражение в виде:
\[-x^3+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3\]Применим формулу кумы кубов:
\[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3=\left(\frac{1}{3}-x\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+x^2\right)\]
