Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Все предметы / Математика / Формулы сокращенного умножения / Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов

Разность квадратов

Выведем формулу разности квадратов $a^2-b^2$.

Для этого вспомним следующее правило:

Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.

Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен $ab$:

Вынесем за скобки общие множители:

Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:

Итого, получим:

То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.

Пример 1

Представить в виде произведения ${4x}^2-y^2$

Данное выражение можно переписать в следующем виде:

\[{4x}^2-y^2={(2x)}^2-y^2\]

Используя формулу разности квадратов, получим:

\[{(2x)}^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Сумма кубов

Выведем формулу суммы кубов $a^3+b^3$.

Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.

Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:

Вынесем за скобки общие множители:

Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:

Итого, получим:

То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

Пример 2

Представить в виде произведения ${8x}^3+y^3$

Данное выражение можно переписать в следующем виде:

\[{8x}^3+y^3={(2x)}^3+y^3\]

Используя формулу разности квадратов, получим:

\[{(2x)}^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Разность кубов

Выведем формулу разность кубов $a^3-b^3$.

Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.

Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:

Вынесем за скобки общие множители:

Вынесем за скобки $\left(a-b\right)$:

Итого, получим:

То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

Пример 3

Представить в виде произведения ${8x}^3-y^3$

Данное выражение можно переписать в следующем виде:

\[{8x}^3-y^3={(2x)}^3-y^3\]

Используя формулу разности квадратов, получим:

\[{(2x)}^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов

Пример 4

Разложить на множители.

а) ${(a+5)}^2-9$

б) $8-x^3y^3$

в) $-x^3+\frac{1}{27}$

Решение:

а) ${(a+5)}^2-9$

Запишем данное выражение в виде:

\[{{(a+5)}^2-9=(a+5)}^2-3^2\]

Применяя формулу разности квадратов, получим:

\[{(a+5)}^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a+8)\]

б) $8+x^3y^3$

Запишем данное выражение в виде:

\[8+x^3y^3=2^3+{(xy)}^3\]

Применим формулу кумы кубов:

\[2^3+{(xy)}^3=\left(2+xy\right)(4-2xy+x^2y^2)\]

в) $-x^3+\frac{1}{27}$

Запишем данное выражение в виде:

\[-x^3+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3\]

Применим формулу кумы кубов:

\[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3=\left(\frac{1}{3}-x\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+x^2\right)\]
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис