Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Формулы сокращенного умножения, квадрат суммы и разности

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Многочлены / Формулы сокращенного умножения, квадрат суммы и разности
Формулы сокращенного умножения, квадрат суммы и разности

Квадрат суммы и разности

Иногда приходится сталкиваться с умножением одинаковых многочленов друг на друга. Например $(4a-1)(4a-1)$, $(a-c)(a-c)$. Сначала вспомним, как умножают многочлен на многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен

Замечание 1

Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член одного многочлена поочередно на каждый член другого многочлена и полученный произведения сложить.

Не трудно заметить, что при умножении многочлена на многочлен мы столкнемся с умножением одночленов, при котором необходимо пользоваться следующим алгоритмом действий:

Алгоритм умножения одночленов

  1. Перемножить коэффициенты одночленов - полученный результат и будет коэффициентом итогового одночлена

  2. Перемножить переменные входящие в состав обоих одночленов. Воспользоваться при этом свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  3. Составить произведение из чисел и переменных, найденных в п. 1 и 2 и добавить к произведению переменные, входящие в один из одночленов

Квадрат суммы двух выражений

Пример 1

Найти произведение $(5a+2)(5a+2)$

Решение:

Сначала воспользуемся правилом умножения многочленов - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результаты. Для этого сначала первый член первого многочлена - $5a$ - умножим на первый и второй член второго (на $5a$ и $2$),т.е. получим $5a\cdot 5a+2\cdot 5a$, затем второй член первого многочлена - $2$ - умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $5a$ и $2$),т.е. получим $2\cdot 5a + 2\cdot 2$ и составим сумму получившихся выражений

$(5a+2)(5a+2)=5a\cdot 5a+2\cdot 5a+2\cdot 5a + 2\cdot 2$

Теперь воспользуемся правилом умножения одночленов, т. е умножим сначала коэффициенты одночленов, затем переменные, тогда последовательно получим:

$5a\cdot 5a=25\cdot a\cdot a=25a^2$

$2\cdot 5a=10a$

$2\cdot 2=4$

Тогда наш многочлен примет вид:

$(5a+2)(5a+2)=5a\cdot 5a+2\cdot 5a+2\cdot 5a + 2\cdot 2=25a^2+10a+10a+4$

Приведем подобные слагаемые, которыми в нашем многочлене будут одночлены $10a$:

$(5a+2)(5a+2)= 25a^2+10a+10a+4 = 25a^2+20a+4$

Теперь посмотрев на результат, попробуем записать его через исходные одночлены:

$(5a+2)(5a+2)= {(5а+2)}^2=25a^2+20a+4={(5a)}^2+2\cdot 5a\cdot 2+2^2$

или короче

${(5a+2)}^2={(5a)}^2+2\cdot 5a\cdot 2+2^2$, отсюда мы можем вывести правило возведения суммы в квадрат:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого на второе.

Математическая запись будет выглядеть так ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Алгоритм нахождения квадрата суммы двух выражений

  1. Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

    Если первое слагаемое является одночленом, то обязательно воспользоваться формулой возведения в степень произведения ${(ab)}^n=a^nb^n$ - при возведении в степень произведения каждый множитель возводится в эту степень

    Например, ${(3a)}^2=3^2\cdot a^2=9a^2$

    Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: ${{(a}^n)}^m=a^{n \cdot m}$ - при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются

    $({{2a}^2)}^2=2^2\cdot {(a^2)}^2=4a^4$

  2. Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

  3. Составить сумму выражений найденных в п. 1,2.

Квадрат разности двух выражений

Аналогично можно вывести форму для нахождения квадрата разности двух выражений: ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого выражения на второе

Алгоритм нахождения квадрата разности двух выражений:

  1. Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

    Если первое слагаемое является одночленом, то обязательно воспользоваться формулой возведения в степень произведения ${(ab)}^n=a^nb^n$ - при возведении в степень произведения каждый множитель возводится в эту степень.

    Например, ${(9a)}^2=9^2\cdot a^2=81a^2$

    Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: ${{(a}^n)}^m=a^{n\cdot m}$ - при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются

    $({{4a}^3)}^2=4^2\cdot {(a^3)}^2=16a^6$

  2. Найти удвоенное произведение первого и второго выражения.

  3. Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2

Пример 2

${(7-8a)}^2$

Решение: нам необходимо найти квадрат разности двух выражений.Бедем действовать согласно алгоритму:

  1. Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат

    $7^2=49$

    ${(8a)}^2=8^2\cdot a^2=64a^2$

  2. Найти удвоенное произведение первого и второго выражения.

    $2\cdot 7\cdot 8a=112a$

  3. Составить сумму выражений найденных в п. 1 и вычесть из найденной суммы выражение, найденное в п.2

    $49+64a^2-112a$

Значит, в более привычной записи решение будет выглядеть так:

\[{(7-8a)}^2=49-112a+64a^2\]