Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Квадрат суммы и квадрат разности

Бином Ньютона

Одними из основных формул сокращенного умножения является формулы квадрата суммы и квадрата разности двух одночленов.

Данные формулы можно вывести с помощью Бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:

Здесь $C^0_n,\ C^1_n,\dots ,C^{n-1}_n,C^n_n$ -- коэффициенты Бинома Ньютона.

Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (рис. 1).

Структура треугольника Паскаля

Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля

Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице (рис. 2):

Коэффициенты треугольника Паскаля

Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля

Формула квадрата суммы

Выведем с использованием формулы Бинома Ньютона формулу квадрата суммы ${(a+b)}^2$. Из формулы Бинома Ньютона получаем:

Используя таблицу 2, получим:

Таким образом, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения:

Пример 1: возвести в квадрат $(2x+3y)$

Используя формулу квадрата суммы, получим:

Замечание

!!! Здесь стоит обратить особое внимание, что формулу надо применяя к одночленам, входящим в сумму, целиком. Типичной ошибкой в данном случае бывает то, что зачастую в квадрат возводят только часть одночлена (к примеру, возводят не $2x$ целиком, а только $x$, что является ошибкой!!!)

Готовые работы на аналогичную тему

Формула квадрата разности

Найдем теперь формулу разности суммы. Для этого вначале представим выражение в следующем виде:

Воспользуемся формулой Бинома Ньютона:

Используя таблицу 2, получим:

Таким образом, квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе:

Примеры задач на использование формул квадрата суммы и разности

Пример 1

Выполнить возведение в квадрат:

а) ${(-9a+4b)}^2$

б) ${(-8a-5b)}^2$

в) ${(x^2-7)}^2$

Решение:

а) ${(-9a+4b)}^2$

Поменяем одночлены, стоящие в скобке, местами:

\[{(-9a+4b)}^2={(4b-9a)}^2\]

Воспользуемся формулой квадрата разности:

\[{(4b-9a)}^2={(4b)}^2-2\cdot 4b\cdot 9a+{(9a)}^2={16b}^2-72ab+{81a}^2\]

б) ${(-8a-5b)}^2$

Так как квадрат всегда положительное число, то получим:

\[{(-8a-5b)}^2={(8a+5b)}^2\]

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\[{(8a+5b)}^2={(8a)}^2+2\cdot 5b\cdot 8a+{(5b)}^2={64a}^2+80ab+{25b}^2\]

в) ${(x^2-7)}^2$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

\[{(x^2-7)}^2={(x^2)}^2-2\cdot x^2\cdot 7+7^2=x^4-14x^2+49\]
Пример 2

Представить в виде квадрата:

а) $4a^2+12a+9$

б) $x^2-20xy^2+100y^4$

Решение:

а) $4a^2+12a+9$

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

\[4a^2+12a+9={(2a)}^2+2\cdot 2a\cdot 3+3^2=(2a+3)^2\]

б) $x^2-20xy^2+100y^4$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

\[x^2-20xy^2+100y^4=x^2-2\cdot x\cdot 10y^2+{(10y)}^2=(x-10y)^2\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис