Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Умножение дробей, деление дробей

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Дробные числа / Умножение дробей, деление дробей
Умножение дробей, деление дробей

Умножение обыкновенных дробей

Определение 1

Умножение дробей рассматривается как действие нахождения дроби от дроби.

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей -- это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ -- обыкновенная дробь, $n$ -- натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей:

При делении обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$ на дробь $\frac{c}{d}$ необходимо делимое умножить на число, которое является обратным делителю:

Пример 6

Выполнить деление дробей $\frac{7}{4}$ и $\frac{3}{5}$.

Решение.

Числом, обратным делителю $\frac{3}{5}$, является дробь $\frac{5}{3}$. Воспользуемся правилом деления обыкновенных дробей:

\[\frac{7}{4}:\frac{3}{5}=\frac{7}{4}\cdot \frac{5}{3}=\frac{7\cdot 5}{4\cdot 3}=\frac{35}{12}\]

Ответ: $\frac{35}{12}.$

Результат деления дробей необходимо проверять на сократимость дроби и на возможность выделения целой части из неправильной дроби.

Пример 7

Выполнить деление дробей $\frac{8}{15}:\frac{12}{35}$.

Решение.

Применим правило деления дробей:

\[\frac{8}{15}:\frac{12}{35}=\frac{8}{15}\cdot \frac{35}{12}=\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}\]

Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$