Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Взаимно обратные числа, деление дробей

Взаимно обратные числа

Определение 1

Числа $a$ и $b$ называются взаимно обратными, если результат их умножения равен $1$:

$a \cdot b=1$.

Говорят: «число $a$ обратно числу $b$, число $b$ обратно числу $a$».

Пример 1

Например, взаимно обратными будут такие пары чисел:

$13$ и $\frac{1}{13}$;

$\frac{11}{17}$ и $\frac{17}{11}$;

$1$ и $1$.

Несложно проверить, что произведение каждой из пар чисел равно $1$:

$13 \cdot \frac{1}{13}=\frac{13 \cdot 1}{13}=\frac{1}{1}=1$;

$\frac{11}{17} \cdot \frac{17}{11}=\frac{11 \cdot 17}{17 \cdot 11}=\frac{1}{1}=1$;

$1 \cdot 1=1$.

Взаимно обратные числа существуют на множестве натуральных, целых, действительных и комплексных чисел.

В общем виде число, обратное данному числу $a$, записывают в виде дроби $\frac{1}{a}$ или $a^{-1}$, т.к. по определению:

$a \cdot \frac{1}{a}=1$ и $a \cdot a^{-1}=1$.

Число, обратное данному, легко найти для натурального числа или для обыкновенной дроби.

Нахождение числа, обратного обыкновенной дроби

Замечание 1

Для нахождения числа, обратного обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами числитель и знаменатель данной дроби, т.е. получить дробь $\frac{b}{a}$. Т.к. $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1$, то по определению взаимно обратных чисел дроби$ \frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ – взаимно обратные числа.

Пример 2

Например, обратным числом для дроби $\frac{11}{27}$ будет дробь $\frac{27}{11}$.

Нахождение числа, обратного натуральному числу

Замечание 2

Для нахождения числа, обратного натуральному числу $n$, нужно представить данное натуральное число в виде дроби со знаменателем $1: n=\frac{n}{1}$. Далее поменять местами числитель и знаменатель дроби и получить дробь, обратную данному натуральному числу: числа $n=\frac{n}{1}$ и $\frac{1}{n}$ – взаимно обратные.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Например, натуральное число 9 имеет взаимно обратное число $\frac{1}{9}$, а число $\frac{1}{6}$ является обратным натуральному числу $6$.

Замечание 3

Число $1$ взаимно обратно самому себе.

Деление обыкновенных дробей

Замечание 4

Делением является действие, обратное умножению.

Замечание 5

Правило деления обыкновенных дробей:

Чтобы разделить обыкновенную дробь $\frac{a}{b}$ на дробь $\frac{c}{d}$ необходимо выполнить умножение делимого на число, обратное делителю:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Говорят: «чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на перевернутую дробь».

Пример 4

Разделить дробь $\frac{16}{3}$ на $\frac{5}{7}$.

Решение.

Найдем число, обратное делителю $\frac{5}{7}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $\frac{7}{5}$.

Согласно правилу деления обыкновенных дробей получим:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$;

$\frac{16}{3}:\frac{5}{7}=\frac{16}{3} \cdot \frac{7}{5}=\frac{16 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\frac{112}{15}$.

Ответ: $\frac{16}{3}:\frac{5}{7}=\frac{112}{15}$.

Замечание 6

Если в результате деления дробей получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.

Пример 5

Разделить дробь $\frac{22}{5}$ на $\frac{11}{3}$.

Решение.

Найдем число, обратное делителю $\frac{11}{3}$, для чего поменяем местами ее числитель и знаменатель и получим $\frac{3}{11}$.

Согласно правилу деления обыкновенных дробей, получим:

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$;

$\frac{22}{5} \div \frac{11}{3}=\frac{22}{5} \cdot \frac{3}{11}=\frac{22 \cdot 3}{5 \cdot 11}.$

Очевидно, что можно выполнить сокращение числителя и знаменателя на $11$:

$\frac{22 \cdot 3}{5 \cdot 11}=\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1}=\frac{6}{5}$.

Получили неправильную дробь, из которой необходимо выделить целую часть:

$\frac{6}{5}=1 \frac{1}{5}$.

Полная запись решения:

$\frac{22}{5}:\frac{11}{3}=\frac{22}{5} \cdot \frac{3}{11}=\frac{22 \cdot 3}{5 \cdot 11}=\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1}=\frac{6}{5}=1 \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{22}{5}:\frac{11}{3}=1 \frac{1}{5}$.

Деление дроби на число

Замечание 7

Правило деления дроби на число:

Для деления дроби $\frac{a}{b}$ на число $n$ необходимо числитель оставить без изменений, а знаменатель умножить на $n$:

$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b \cdot n}$.

Пример 6

Разделить дробь $\frac{3}{7}$ на число $5$.

Решение.

Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b \cdot n}$;

$\frac{3}{7}:5=\frac{3}{7 \cdot 5}=\frac{3}{35}$.

Ответ: $\frac{3}{7}:5=\frac{3}{35}$.

Замечание 8

Если в результате деления получается сократимая или неправильная дробь, необходимо привести ее к несократимому виду или выделить целую часть.

Пример 7

Разделить дробь $\frac{52}{7}$ на число $13$.

Решение.

Воспользуемся правилом деления дроби на число и получим:

$\frac{a}{b}:n=\frac{a}{b \cdot n}$;

$\frac{52}{7}:13=\frac{52}{7 \cdot 13}$.

Выполним сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители:

$\frac{52}{7 \cdot 13}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 13}{7 \cdot 13}=\frac{4}{7}$.

Краткая запись решения:

$\frac{52}{7}:13=\frac{52}{7 \cdot 13}=\frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{52}{7}:13=\frac{4}{7}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис