Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Геометрическое распределение

Все предметы / Математика / Случайные величины / Геометрическое распределение
Определение 1

Вероятность $P\left(X

Обозначение:

\[F\left(x\right)=P\left(XФункция распределения -- универсальная характеристика. Она существует для всех случайных величин -- и непрерывных и дискретных.

Свойства функции распределения

  1. $F\left(x\right)$ - функция неубывающая, т.е. при $x_{1}

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:

$F\left(x_{2} \right)-F\left(x_{1} \right)=P\left(x_{1} \le X

а поэтому

$F\left(x_{2} \right)-F\left(x_{1} \right)\ge 0$ или $F\left(x_{2} \right)\ge F\left(x_{1} \right)$,

что и требовалось доказать.

  1. Вероятность того, что случайная величина попадет на участок $\left[a;b\right)$, равна приращению интегральной функции распределения на этом участке.

Это утверждение следует непосредственно из первого свойства. Действительно, если положим $x_{1} =a,{\rm \; }x_{2} =b$, то получим:

  • $F\left(-\infty \right)=0$.
  • Это свойство следует из того, что $\left(X

    График функции распределения $F\left(x\right)$ есть график неубывающей функции, значения которой меняются от $0$ до $1$.

    Геометрическое распределение

    Пусть имеем независимое испытание Бернулли, в каждом из которых событие $A$ наступает с вероятностью $p,\ \ 0

    Случайная величина $X$ означает количество испытаний, которые необходимо провести до первого появления события $A,$ она может принимать значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ K,\ \dots ,\ $ вероятности этих значений: $P\left\{\xi =k\right\}={\left(1-p\right)}^k\cdot p.$

    Вероятности для последовательных значений $K$ являют собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1-q.$ Ряд распределения этой случайной величины $X$ имеет вид:



    Рисунок 1.

    Готовые работы на аналогичную тему

    Причем

    Вычислим математическое ожидание:

    и дисперсию:

    Иногда рассматривают случайную величину $Y=X+1,$ которая равняется числу испытаний до получения результата $A.$ Ряд распределения величины $Y$ имеет вид:



    Рисунок 2.

    Распределение случайной величины $Y=X+1$ будем называть «геометрическим распределением, что начинается с единицы».

    Применение для решения задач

    Пример 1

    Пушка стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель $p=0,7.$ Найти закон распределения случайной величины $\xi -$количество выстрелов и вероятность того, что попадание наступит при четвертом выстреле.

    Решение.

    Закон распределения данной случайной величины будет иметь вид:



    Рисунок 3.

    \[P\left\{\xi =4\right\}={0,3}^3\cdot 0,7=0,0189.\]

    В этом случае мы имели геометрическое распределение, что начинается с единицы.

    Пример 2

    Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель $p = 0,6$. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

    Решение:

    По условию $p = 0,6$, $q = 1 -- 0,6 = 0,4$, $k = 3$.

    Искомая вероятность равна:

    $P ( X = 3 ) = 0,4^2 \cdot 0,6 = 0,096$.

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи

    Автор статьи

    Щебетун Виктор

    Эксперт по предмету «Математика»

    Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
    Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
    как работает сервис