Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение плотности распределения

Содержание статьи

Как нам уже известно, случайную величину можно задавать с помощью таблицы или с помощью функции распределения вероятности. Предположим теперь, что случайная величина $X$ является непрерывной, а функция распределения вероятности $F(x)$ непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Тогда для такой случайной величины существует еще один способ её задания -- задания с помощью плотности распределения.

Определение 1

Плотностью распределения $\varphi (x)$ непрерыной случайной величины называется первая производная от функции распределения вероятности $F(x)$.

Примечание 1

!!! Подчеркнем, что данное понятие не применимо к дискретной случайной величине.

Геометрически, плотность распределения связана с функцией распределения вероятностей следующим образом: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения и находящейся по левую сторону от величины $x$ и есть функция распределения вероятности (рис. 1).

Связь функций $\varphi (x)$ и $F(x)$.

Рисунок 1. Связь функций $\varphi (x)$ и $F(x)$.

То есть:

Геометрический смысл: вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $\varphi \left(x\right)$ и прямыми $x=\alpha ,$ $x=\beta $ и $y=0$ (рис. 2).

Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$.

Рисунок 2. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$.

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на понятие плотности распределения

Пример 1

Пусть функция распределения $F(x)$ случайной величины $X$ имеет следующий вид:



Рисунок 3.

а) Найти значение $\alpha $.

б) Найти плотность распределения $\varphi \left(x\right)$.

в) Построить график плотности распределения.

г) Найти вероятность попадания случайной величины в интервал $\left(1,2\right)$

Решение:

а) Так как необходимо найти плотность распределения, то случайная величина $X$ является непрерывной.

Тогда, при $x=3$, получим, что $(\alpha +1)x^2=1$, то есть

\[9\alpha +9=1,\] \[9\alpha =-8,\] \[\alpha =-\frac{8}{9}.\]

То есть:



Рисунок 4.

б) Так как $\varphi (x)$ = $F'(x)$, то получим:



Рисунок 5.

в) Построим график функции $\varphi \left(x\right)$.



Рисунок 6.

г) Воспользовавшись геометрическим смыслом функции плотности распределения получим, что нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией $y=\frac{2}{9}x$ и прямыми $x=1,$ $x=2$ и $y=0$.

Таким образом, получим:

\[P\left(1
Пример 2

Найти функцию распределения непрерывной случайной величины и построить её график, если плотность распределения имеет вид:



Рисунок 7.

Решение.

При решении будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

\begin{enumerate} \item При $x\le 0$, по формуле, получим:

\[F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}=\int\limits^x_{-\infty }{0dx}=0\]

\item При $0 \[F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)}=\int\limits^0_{-\infty }{0dx}+\int\limits^x_0{\frac{dx}{4}}=0+\frac{x}{4}-0=\frac{x}{4}\]

\item При $x>2$, по формуле, получим:

\[F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)}=\int\limits^0_{-\infty }{0dx}+\int\limits^2_0{\frac{dx}{4}}+\int\limits^x_2{0dx}=0+\frac{1}{2}-0+0=\frac{1}{2}\]

\end{enumerate}

Таким образом, функция распределения имеет вид:



Рисунок 8.

Построим её график.



Рисунок 9.

Примечание 2

!!! Заметим, что, так как дана плотность распределения, то случайная величина является непрерывной. Следовательно, функция $F(x)$ также должна быть непрерывной (как и получилось в нашем примере). Это может служить косвенной проверкой правильности решения такого рода задач.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис