Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Условные законы распределения составляющих системы

Все предметы / Математика / Система двух случайных величин / Условные законы распределения составляющих системы
Определение 1

Условным законом распределения одной из составляющих двумерной случайной величины $(X,Y)$ называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая принимает определенное значение или попадает в определенный интеграл.

Введем теперь по отдельности определения условного закона распределения для составляющей $X$ и для составляющей $Y$.

Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины

Пусть $(X,Y)$ - дискретная двумерная случайная величина.

Определение 2

Условным распределением составляющей $X$ при $Y=y$ называется совокупность условных вероятностей $p\left(x_1,y\right),\ p\left(x_2,y\right),..,p\left(x_n,y\right)$ при условии, что событие $Y=y$ уже произошло.

Если известен закон распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, то условная составляющая $X$ представляется в виде

Определение 3

Условным распределением составляющей $Y$ при $X=x$ называется совокупность условных вероятностей $p\left(x,y_1\right),\ p\left(x,y_2\right),..,p\left(x,y_m\right)$ при условии, что событие $X=x$ уже произошло.

Если известен закон распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, то условная составляющая $X$ представляется в виде

Условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины

Пусть $(X,Y)$ - непрерывная двумерная случайная величина.

Напомним, что для непрерывной случайной величины существует понятие плотности распределения случайной величины.

Определение 4

Условной плотностью $\varphi (x/y)$ распределения составляющей $X$ при $Y=y$ называется отношение плотности $\varphi (x,y)$ двумерной случайной величины $(X,Y)$ к плотности распределения $\varphi (y)$ при условии, что составляющая $Y$ приняла конкретное значение или попала в заданный интервал. То есть

\[\varphi (x/y)=\frac{\varphi (x,y)}{\varphi (y)}\]

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 5

Условной плотностью $\varphi (y/x)$ распределения составляющей $Y$ при $X=x$ называется отношение плотности $\varphi (x,y)$ двумерной случайной величины $(X,Y)$ к плотности распределения $\varphi (x)$ при условии, что составляющая $X$ приняла конкретное значение или попала в заданный интервал. То есть

\[\varphi (y/x)=\frac{\varphi (x,y)}{\varphi (x)}\]

Приведем еще две формулы для вычисления условных плотностей распределения. Если известна плотность совместного распределения, то условные плотности по составляющей $X$ и по составляющей $Y$ можно найти по формулам:

Введем несколько свойств для функций условной плотности распределения.

Свойство 1: Функции условной плотности распределения неотрицательны на всей области определения, то есть:

Свойство 2: Выполняются следующие равенства:

Условное математическое ожидание

Введем формулы для вычисления условных математических ожиданий для различных случаев.

  1. Условное математическое ожидание дискретной случайной величины $Y$ при $X=x$:
  1. Условное математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ при $Y=y$:
  1. Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины $Y$ при $X=x$:
  1. Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ при $Y=y$:
Определение 6

Условное математическое ожидание $M(Y/X)$ называется функцией регрессии $X$ на $Y$.

Определение 7

Условное математическое ожидание $M(X/Y)$ называется функцией регрессии $Y$ на $X$.

Пример задачи на условное распределение

Пример 1

Распределение случайной величины задано таблицей.



Рисунок 1.

Найти для этой двумерной случайной величины условное распределение по составляющей $X$, если $Y=10$.

Решение.

Для нахождения условного распределения по составляющей $X$, будем использовать следующую формулу:

\[p\left(x_i/y\right)=\frac{p\left(x_i,y\right)}{p(y)}\]

Для начала необходимо найти ряд распределения случайной величины $Y$.

С помощью простейших вычислений, получим:



Рисунок 2.

Для нахождения условного распределения по составляющей $X$, будем использовать следующую формулу:

\[p\left(x_i/y\right)=\frac{p\left(x_i,y\right)}{p(y)}\]
  • Y=10
\[p\left(x_1/Y=10\right)=\frac{0,02}{0,06}=\frac{1}{3}\] \[p\left(x_2/Y=10\right)=\frac{0,04}{0,06}=\frac{2}{3}\] \[p\left(x_3/Y=10\right)=\frac{0}{0,06}=0\] \[p\left(x_4/Y=10\right)=\frac{0}{0,06}=0\] \[p\left(x_5/Y=10\right)=\frac{0}{0,06}=0\] \[p\left(x_6/Y=10\right)=\frac{0}{0,06}=0\]

Получаем следующий ряд условного распределения по составляющей $X$:



Рисунок 3.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис