Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Система двух случайных величин

Все предметы / Математика / Система двух случайных величин
Определение 1

Случайная величина называется двумерной, если она определяется двумя числами.

Определение 2

Двумерная случайная величина называется дискретной, если все её составляющие являются дискретными случайными величинами.

Определение 3

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если все её составляющие являются непрерывными случайными величинами.

Определение 4

Составляющие двумерной случайной величины, рассматриваемые вместе, называется системой двух случайных величин.

Такая система обозначается следующим образом: $(X,\ Y)$.

Геометрически двумерную случайную величину можно трактовать как координаты точки евклидовой плоскости (рис. 1).

Геометрическое изображение двумерной случайной величины $(X,Y)$.

Рисунок 1. Геометрическое изображение двумерной случайной величины $(X,Y)$.

В случае одномерной случайной величины простейший закон распределения записывается в виде ряда. В случае двумерной случайной величины аналогичный закон распределения записывается в виде таблицы.

Еще одними из основных понятий двумерной случайной величины является функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины.

Функция распределения двумерной случайной величины

Определение 5

Функцией распределения для двумерной случайной величины $(X,Y)$ называется функция $F\left(x,y\right)$ удовлетворяющая одновременно двум равенствам: $F\left(x\right)=P(X \[F\left(x,y\right)=P(X

Плотность распределения двумерной случайной величины.

Определение 6

Функция $\varphi (x,y)$ называется плотностью распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, если, с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно $\triangle p=\sqrt{{\triangle x}^2+{\triangle y}^2}$, выполняется равенство:

\[P(x

Приведем несколько свойств функции плотности распределения $f\left(x,y\right)$

  1. $\varphi \left(x,y\right)\ge 0$.

  2. $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}=1$.

  3. $\varphi \left(x,y\right)={F^{''}}_{xy}(x,y)$.

  4. $P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\iint\limits_{(D)}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}$.

Пример задачи на использование свойств функции плотности распределения двумерной случайной величины

Пример 1

Плотность двумерной случайной величины имеет вид

\[\varphi \left(x,y\right)=\frac{\beta }{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}\]

Найти:

  1. Коэффициент $\beta $.

  2. Функцию распределения $F\left(x,y\right)$.

  3. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми $x=0,\ x=2,\ y=0,y=4$.

Решение:

  1. Воспользуется свойством 2 функции плотности распределения:
\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}=1.\]

Рассмотрим интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\beta dxdy}{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}}}$, получим:

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\beta dxdy}{{\pi }^3\left(4+x^2\right)(4+y^2)}}}=\frac{\beta }{{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{4+x^2}}=\] \[=\frac{\beta }{{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\cdot {\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}\right)\right|}^{+\infty }_{-\infty }=\frac{\beta }{2{\pi }^3}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\] \[=\frac{\beta }{2{\pi }^2}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dy}{4+y^2}}=\frac{\beta }{4{\pi }^2}\cdot {\left.\left(arctg\frac{y}{2}\right)\right|}^{+\infty }_{-\infty }=\frac{\beta }{4{\pi }^2}\cdot \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\beta }{4\pi }\]

Значит

\[\frac{\beta }{4\pi }=1,\] \[\beta =4\pi .\]

То есть функция плотности распределения имеет вид:

\[\varphi \left(x,y\right)=\frac{4}{{\pi }^2\left(4+x^2\right)(4+y^2)}\]
  1. Напомним формулу, связывающую функцию распределения и плотность распределения для случая одномерной случайной величины:
\[F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi \left(t\right)dt}\]

Аналогично этой формуле существует формула связывающая функцию распределения и плотность распределения для случая двумерной случайной величины:

\[F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\varphi \left(t,z\right)dtdz}}\]

Получаем:

\[F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\frac{4}{{\pi }^2\left(4+t^2\right)(4+z^2)}dtdz}}=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\frac{dtdz}{\left(4+t^2\right)(4+z^2)}}}=\] \[=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}\int\limits^y_{-\infty }{\frac{dz}{4+z^2}}=\frac{4}{{\pi }^2}\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}\cdot {\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{z}{2}\right)\right|}^y_{-\infty }=\] \[=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\int\limits^x_{-\infty }{\frac{dt}{4+t^2}}=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right){\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{t}{2}\right)\right|}^x_{-\infty }=\] \[=\frac{2}{{\pi }^2}\left(arctg\frac{y}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\left(arctg\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\]

То есть

\[F\left(x,y\right)=2\left(\frac{1}{\pi }arctg\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\pi }arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\]
  1. Воспользуемся свойством 4 функции плотности распределения двумерной случайной величины:
\[P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\iint\limits_{(D)}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}\]

Получаем:

\[P\left(0
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис