Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей

Все предметы / Математика / Случайные величины / Дискретная случайная величина, закон распределения вероятностей
Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Определение 2

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:



Рисунок 1.

где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения.



Рисунок 2.

Готовые работы на аналогичную тему

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу, сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip'_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p'_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip'_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p'_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p'_3+p_5\cdot p'_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p'_2+p_4\cdot p'_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:



Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p'_1+p'_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид



Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид



Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение 7

Функцией распределения дискретной случайной величины $Х$ называется функция $F(x)$, которая определяет для каждого значения $х$ вероятность того, что случайная величина $Х$ примет значение, меньше $х$:

$F(x) = Р(Х$

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.

Свойства функции распределения

  1. $0\le F\left(x\right)\le 1;$

  2. $F\left(x\right)$$-$ функция неубывающая на промежутке ($- \infty $; $+ \infty $);

  3. $F\left(x\right)$$-$ функция непрерывна слева в точках $х= xi (i=1,2,\dots n)$ и непрерывна во всех остальных точках;

  4. $F\left(-\infty \right)=P \left(X

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан таблицей:



Рисунок 6.

то функция распределения $F(x)$ определяется за формулой:



Рисунок 7.

Её график выглядит так:



Рисунок 8.

Пример 1

Закон распределения дискретной случайной величины $\xi$ задано таблицей:



Рисунок 9.

Построить функцию распределения $F\left(x\right)$.

Если $x\le -3,$ то $F\left(x\right)=0;$

если $-3

если $-1

если $1

если $3

если $x>5,$ то $F\left(x\right)=0,8+0,2=1.$

Компактно $F\left(x\right)$ можно записать в такой форме:



Рисунок 10.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис