Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Виды случайных величин

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Виды случайных величин
Определение

Действительная функция $\xi =\varphi (\omega )$ определенная на измеримом пространстве $\{ \Omega ,{\rm F}\} $ называется измеримой или случайной величиной, если

\[\forall B\subset B(R):{\rm \; \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} \subset {\rm F}\]

или

прообраз $f^{-1} (B)={\rm \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} $

является измеримым множеством в $\Omega$.

Определение

Вероятностная мера $P_{\xi } $ на $\{ R,B(R)\} $ с вероятностью $P_{\xi } =P\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} $, $B\subset B(R)$, называется распределением вероятностей случайной величины $\xi$ на измеримом пространстве $\{ R,B(R)\} $.

Определение

Функция

\[F_{\xi } (x)=P(\omega :{\rm \; }\varphi (\omega ) это функция распределения случайной величины $\xi =\varphi (\omega )$.

Свойства функции распределения:

  1. Функция распределения случайной величины определена на всей области $\forall x\in (-\infty ,+\infty )$.
  2. Функция распределения $F_{\xi } (x)$ -- неубывающая функция, то есть
  3. $\forall x_{1} ,x_{2} \in R$: $x_{1}
  4. Функция распределения $F_{\xi } (x)$ непрерывна слева в любой точке действительной оси, то есть
  5. \[\forall x_{0} \in R, \mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} -0} F_{\xi } (x)=F_{\xi } (x_{0} ).\]
  6. Функция распределения случайной величины имеет не более чем счетное число разрывов 1-го рода.
  7. $F_{\xi } (-\infty )=0$.
  8. $F_{\xi } (+\infty )=1$.

Всякая функция, которой подходят перечисленные свойства, называется функцией распределения некой случайной величины и наоборот.

Случайные величины обозначаются буквами греческого алфавита $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\dots$ .

Для применения функций распределения в инженерных и практических расчетах, обычно, случайные величины: дискретные и непрерывные, - рассматривают независимо.

Пример

Случайной величиной являются

  1. число выпавших очков на грани при подбрасывании игральной кости назовем дискретной случайной величиной;
  2. число выпадений герба при однократном подбрасывании монеты назовем дискретной случайной величиной;
  3. время безотказной работы телевизора назовем непрерывной случайной величиной;
  4. погрешности измерений назовем непрерывной случайной величиной.

Дискретные случайные величины

Определение

Дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному событию $\omega$ ставит в соответствие одно из конечного или счетного набора

\[x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} , n\in N=\{ 1,2,3,...\} .\]

Дискретная случайная величина полностью задается своим рядом распределения.

Определение

Пускай случайная величина $\xi$ принимает значения $x_{1}

Таблица, состоящая из двух строк называется рядом распределения (табл.1, 2)дискретной случайной величины если в верхней строке перечислены все возможные значения $x_{i} $ случайной величины, а в нижней -- вероятности $p_{i} =P(\xi =x_{i} )$ того, что случайная величина $\xi$ примет эти значения, причем $\sum \limits _{i}p_{i} =1$.

Таблица 1

Виды случайных величин

или

Таблица 2

Виды случайных величин

Графическим представлением ряда распределения является многоугольник распределения. Если на плоскости построить точки $(x_{i} ,p_{i} )$, $i=1,2,3,...,n$, и соединить их отрезками прямых, то полученная ломаная и называется многоугольником распределения дискретной случайной величины (рис. 1)

Виды случайных величин

Для вычисления функции распределения дискретной случайной величины, имеем формулу

$F_{\xi } (x)=P(\xi

Непрерывные случайные величины

Определение

Непрерывная случайная величина это функцию $\xi =\varphi (\omega )$, множеством значений которой является некоторый числовой интервал $(a,b)$, $a,b\in R$, $a

Определение

Функция $\rho _{\xi } (x)$ - это плотность распределения вероятностей (или плотностью распределения) непрерывной случайной величины $\xi$, если она удовлетворяет условиям:

  1. $\forall x\in R$ $\rho _{\xi } (x)\ge 0$;
  2. $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\rho _{\xi } (x) dx=1$.

Легко показать, что

\[F_{\xi } (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\rho _{\xi } (t) dt. \]

Следствия свойств функции распределения

Некоторые полезные следствия свойств функции распределения случайной величины:

  1. $0\le F_{\xi } (x)\le 1$, $\forall x\in R$;
  2. $P(a\le \xi
  3. $P(a\le \xi
  4. $P(x\le \xi \le x+dx)=\rho _{\xi } (x)dx$;
  5. $P(\xi =x)=F_{\xi } (x+0)-F_{\xi } (x-0)$;
  6. $P(\xi \le x)=F_{\xi } (x+0)$.
Замечание

Функция распределения это вероятность и следовательно безразмерна, а плотность, как следует из формулы:

\[\rho _{\xi } (x)=\frac{dF_{\xi } (x)}{dx} \]

имеет размерность обратную времени. Кроме того, сравнивая законы дискретных и непрерывных случайных величин, легко заметить, что аналогом плотности является ряд распределения дискретной случайной величины.