Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Виды случайных величин

Определение

Действительная функция $\xi =\varphi (\omega )$ определенная на измеримом пространстве $\{ \Omega ,{\rm F}\} $ называется измеримой или случайной величиной, если

\[\forall B\subset B(R):{\rm \; \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} \subset {\rm F}\]

или

прообраз $f^{-1} (B)={\rm \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} $

является измеримым множеством в $\Omega$.

Определение

Вероятностная мера $P_{\xi } $ на $\{ R,B(R)\} $ с вероятностью $P_{\xi } =P\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\} $, $B\subset B(R)$, называется распределением вероятностей случайной величины $\xi$ на измеримом пространстве $\{ R,B(R)\} $.

Определение

Функция

\[F_{\xi } (x)=P(\omega :{\rm \; }\varphi (\omega ) это функция распределения случайной величины $\xi =\varphi (\omega )$.

Свойства функции распределения:

  1. Функция распределения случайной величины определена на всей области $\forall x\in (-\infty ,+\infty )$.
  2. Функция распределения $F_{\xi } (x)$ -- неубывающая функция, то есть
  3. $\forall x_{1} ,x_{2} \in R$: $x_{1}
  4. Функция распределения $F_{\xi } (x)$ непрерывна слева в любой точке действительной оси, то есть
  5. \[\forall x_{0} \in R, \mathop{\lim }\limits_{x\to x_{0} -0} F_{\xi } (x)=F_{\xi } (x_{0} ).\]
  6. Функция распределения случайной величины имеет не более чем счетное число разрывов 1-го рода.
  7. $F_{\xi } (-\infty )=0$.
  8. $F_{\xi } (+\infty )=1$.

Всякая функция, которой подходят перечисленные свойства, называется функцией распределения некой случайной величины и наоборот.

Случайные величины обозначаются буквами греческого алфавита $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\dots$ .

Для применения функций распределения в инженерных и практических расчетах, обычно, случайные величины: дискретные и непрерывные, - рассматривают независимо.

Пример

Случайной величиной являются

  1. число выпавших очков на грани при подбрасывании игральной кости назовем дискретной случайной величиной;
  2. число выпадений герба при однократном подбрасывании монеты назовем дискретной случайной величиной;
  3. время безотказной работы телевизора назовем непрерывной случайной величиной;
  4. погрешности измерений назовем непрерывной случайной величиной.

Готовые работы на аналогичную тему

Дискретные случайные величины

Определение

Дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному событию $\omega$ ставит в соответствие одно из конечного или счетного набора

\[x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} , n\in N=\{ 1,2,3,...\} .\]

Дискретная случайная величина полностью задается своим рядом распределения.

Определение

Пускай случайная величина $\xi$ принимает значения $x_{1}

Таблица, состоящая из двух строк называется рядом распределения (табл.1, 2)дискретной случайной величины если в верхней строке перечислены все возможные значения $x_{i} $ случайной величины, а в нижней -- вероятности $p_{i} =P(\xi =x_{i} )$ того, что случайная величина $\xi$ примет эти значения, причем $\sum \limits _{i}p_{i} =1$.

Таблица 1

Виды случайных величин

или

Таблица 2

Виды случайных величин

Графическим представлением ряда распределения является многоугольник распределения. Если на плоскости построить точки $(x_{i} ,p_{i} )$, $i=1,2,3,...,n$, и соединить их отрезками прямых, то полученная ломаная и называется многоугольником распределения дискретной случайной величины (рис. 1)

Виды случайных величин

Для вычисления функции распределения дискретной случайной величины, имеем формулу

$F_{\xi } (x)=P(\xi

Непрерывные случайные величины

Определение

Непрерывная случайная величина это функцию $\xi =\varphi (\omega )$, множеством значений которой является некоторый числовой интервал $(a,b)$, $a,b\in R$, $a

Определение

Функция $\rho _{\xi } (x)$ - это плотность распределения вероятностей (или плотностью распределения) непрерывной случайной величины $\xi$, если она удовлетворяет условиям:

  1. $\forall x\in R$ $\rho _{\xi } (x)\ge 0$;
  2. $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\rho _{\xi } (x) dx=1$.

Легко показать, что

\[F_{\xi } (x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\rho _{\xi } (t) dt. \]

Следствия свойств функции распределения

Некоторые полезные следствия свойств функции распределения случайной величины:

  1. $0\le F_{\xi } (x)\le 1$, $\forall x\in R$;
  2. $P(a\le \xi
  3. $P(a\le \xi
  4. $P(x\le \xi \le x+dx)=\rho _{\xi } (x)dx$;
  5. $P(\xi =x)=F_{\xi } (x+0)-F_{\xi } (x-0)$;
  6. $P(\xi \le x)=F_{\xi } (x+0)$.
Замечание

Функция распределения это вероятность и следовательно безразмерна, а плотность, как следует из формулы:

\[\rho _{\xi } (x)=\frac{dF_{\xi } (x)}{dx} \]

имеет размерность обратную времени. Кроме того, сравнивая законы дискретных и непрерывных случайных величин, легко заметить, что аналогом плотности является ряд распределения дискретной случайной величины.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис