Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Свойства функции распределения, график

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Свойства функции распределения, график

Свойства функции распределения

Вначале напомним определение функции распределения вероятностей.

Определение 1

Функцией распределения называется функция $F(x)$ удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X

Введем свойства функции распределения:

1. Функция распределения является неубывающей функцией.

Доказательство: очевидно, что для любых событий $x_1 \[F\left(x_1\right)=P\left(Xч. т. д.

2. Существуют пределы ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F(x)\ }$ и ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } F(x)\ }$, причем выполняются равенства:

Доказательство: Существование данных пределов следует из непрерывности и ограниченности функции $F(x)$. Докажем сначала, что:



Рисунок 1.

Рассмотрим убывающую последовательность событий $A_n=(X

Лемма 1: Дана убывающая последовательность вложенных друг друга множеств ${\dots \subseteq A_n\subseteq A_{n-1}\subseteq \dots \subseteq A}_3\subseteq A_2\subseteq A_1$ удовлетворяющая условиям $A={\cap A}_n$ и $\mu \left(A_n\right)

Используя лемму 1, получим

Докажем теперь, что:



Рисунок 2.

Рассмотрим убывающую последовательность событий $B_n=(X\ge n)$, такую что$B_{n+1}=(X\ge (n+1))\subseteq B_n=(X\ge n)$ для всех $n\ge 1$. Очевидно, что пересечение всех событий $B_n$ $B={\cap B}_n=\emptyset $. Поэтому, по лемме 1, получим

ч. т. д.

3. $F(x)$ непрерывна слева любой точке, то есть:



Рисунок 3.

Доказательство. Существование предела следует из непрерывности и ограниченности функции $F(x)$. Рассмотрим следующую разность $F\left(x_0\right)-F\left(x_0-\frac{1}{n}\right)$. Очевидно, что

Следовательно, $F\left(x_0\right)-F\left(x_0-\frac{1}{n}\right)\to 0$. То есть:



Рисунок 4.

ч. т. д.

4. Для любых $x_0$ выполняется равенство: $F\left(x_0+0\right)-F\left(x_0\right)=P({X=x}_0)$.

Это свойство очевидно.

5. Для любых $X$ выполняется равенство: $P\left(a\le X

Доказательство. Очевидно, что $\left(X \[F\left(a\right)+P\left(a\le Xч. т. д.

Примечание 1

Если функция непрерывна во всех точках справа, то$P\left(a\le X\le b\right)=P\left(a

График функции распределения вероятностей

  1. Пусть случайная величина $X$ является дискретной. Тогда график функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках возможных значений случайной величины (рис. 1).

Функция распределения дискретной случайной величины

  1. Пусть случайная величина $X$ теперь является непрерывной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 2).

Функция распределения непрерывной случайной величины

  1. Пусть случайная величина $X$ является смешанной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (имеет скачки в отдельных точках) (рис. 3).

Функция распределения смешанной случайной величины

Рисунок 7. Функция распределения смешанной случайной величины

Примеры задач с использованием понятия функции распределения

Пример 1

Приведен ряд распределений появления события $A$ в трех опытах



Рисунок 8.

Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.

Решение.

При $x\le 1$, $F\left(x\right)=0$;

При $1

При $2

При $x>3$, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$;

Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей:



Рисунок 9.

Пример 2

Случайная величина задана следующей функцией распределения:



Рисунок 10.

Найти вероятность, что величина $X$ будет принадлежать интервалу $\left(\frac{7}{6};;1,2\right)$.

Решение. Нам необходимо найти значение $P\left(\frac{7}{6} \[P\left(\frac{7}{6}\le XОтвет: 0,1.