Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Непрерывность функций

Все предметы / Математика / Предел / Непрерывность функций
Содержание статьи
Определение

Функция f(x) является непрерывной в точке а, если выполняются следующие условия:

  • f(а) определена
  • $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} f(x)$ существует
  • $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} f(x)=f(a)$
Определение 2

Функция непрерывна на интервале (а, b) тогда и только тогда, когда она непрерывна во всех точках данного интервала.

Определение 3

Функция называется непрерывной (рис.1), если она непрерывна на всем промежутке $(-∞; +∞)$.

Непрерывная функция

Рисунок 1. Непрерывная функция

Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке.

Другими словами, функция f непрерывна в точке a, предельной для множества D, если f имеет предел в точке a, и этот предел совпадает со значением функции f(a).

Пример 1

Является ли функция непрерывной в точке а?

\[f(x)=x^{2} -9x+1\]

Решение:

  1. Найдем предел функции
  2. \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} x^{2} -9x+1=a^{2} -9a+1\]
  3. По условию непрерывности
  4. \[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} f(x)=f(a)\]
Условие выполняется, а значит, функция непрерывна в точке а.
Пример 2

Является ли функция непрерывной?

\[f(x)=\left\{\begin{array}{cc} {\frac{\sin x}{x} } & {x\ne 0} \\ {1} & {x=0} \end{array}\right. \]

Решение:

Проверим функцию на выполнимость условий определения 1

  • f(0) = 1 -- значит функция определена;
  • $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1$ - общий предел существует;
  • $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =f(0)$ - условие непрерывности выполнено.

Поскольку все условия выполнимы, функция является непрерывной в точке = 0.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Является ли функция непрерывной?

\[f(x)=\left\{\begin{array}{cc} {\frac{\cos 5x}{x} } & {x\ne 0} \\ {3} & {x=0} \end{array}\right. \]

Решение:

Проверим функцию на выполнимость условий определения 1

  • f(0) = 3 -- значит функция определена;
  • $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\cos 5x}{x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(\cos 5x\right)`}{\left(x\right)`} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{5\sin 5x}{1} =5\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \sin 5x=5$
  • $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\cos 5x}{x} \ne f(0)$

Поскольку последнее условие не выполнено в точке 0 -- функция имеет разрыв.

Свойства непрерывности носят локальный и глобальный характер:

Локальные свойства непрерывности

  • Непрерывная в точке функция является ограниченной в ее окрестности;
  • Для функции непрерывной в точке а, при f(a) $>$ 0 (или f(a) $
  • Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и такие функции как:
  • f(x) + g(x), f(x) -- g(x), f(x) • g(x);

  • Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а будет непрерывной также и функция f(x)/g(x);
  • Если одна функция непрерывна в окрестности а, а другая в окрестности b, то их композиция непрерывна в точке а.

Глобальные свойства непрерывности

  • Функция равномерно непрерывная на любом множестве или отрезке;
  • Функция непрерывная на любом множестве или отрезке всегда ограниченна данным множеством и достигает минимальных и минимальных значений на нем;
  • Область значений непрерывной на отрезке функции f является отрезок [minf; maxf];
  • Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и выполняется условие f(a)*f(b) $>$ 0, то на отрезке обязательно найдется такая точка в которой функция обратится в 0;
  • Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и выполняется условие f(a) $
  • Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и выполняется условие f(a) $>$ c $>$ f(b), то на отрезке обязательно найдется такая точка в которой функция обратится в точку с;
  • Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна;
  • Монотонная функция может быть непрерывной на отрезке, только если область ее значений ограничена f(a) и f(b);
  • Если две функции непрерывны на отрезке, причем одна из них больше другой, то обязательно найдется такое значение на данном промежутке, при котором функции будут равны.
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Елена Борисовна Калюжная

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис