Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Эмпирическая функция распределения

8-800-775-03-30 support@author24.ru

Определение эмпирической функции распределения

Пусть $X$ -- случайная величина. $F(x)$ - функция распределения данной случайной величины. Будем проводить в одних и тех же независимых друг от друга условий $n$ опытов над данной случайной величиной. При этом получим последовательность значений $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, которая и называется выборкой.

Определение 1

Каждое значение $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) называется вариантой.

Определение 2

Функция распределения $F(x)$ генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения.

Одной из оценок теоретической функции распределения является эмпирическая функция распределения.

Определение 3

Эмпирической функцией распределения $F_n(x)$ называется функция, которая определяет для каждого значения $x$ относительную частоту события $X \[F_n\left(x\right)=\frac{n_x}{n}\]

где $n_x$ - число вариант, меньших $x$, $n$ -- объем выборки.

Отличие эмпирической функции от теоретической состоит том, что теоретическая функция определяет вероятность события $X

Свойства эмпирической функции распределения

Рассмотрим теперь несколько основных свойств функции распределения.

  1. Область значений функции $F_n\left(x\right)$ -- отрезок $[0,1]$.

  2. $F_n\left(x\right)$ неубывающая функция.

  3. $F_n\left(x\right)$ непрерывная слева функция.

  4. $F_n\left(x\right)$ кусочно-постоянная функция и возрастает только в точках значений случайной величины $X$

  5. Пусть $X_1$ -- наименьшая, а $X_n$ -- наибольшая варианта. Тогда $F_n\left(x\right)=0$ при ${x\le X}_1$и $F_n\left(x\right)=1$ при $x\ge X_n$.

Введем теорему, которая связывает между собой теоретическую и эмпирическую функции.

Теорема 1

Пусть $F_n\left(x\right)$ -- эмпирическая функция распределения, а $F\left(x\right)$ -- теоретическая функция распределения генеральной выборки. Тогда выполняется равенство:

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } {|F}_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ }\]

Примеры задач на нахождение эмпирической функции распределения

Пример 1

Пусть распределение выборки имеет следующие данные, записанные с помощью таблицы:



Рисунок 1.

Найти объем выборки, составить эмпирическую функцию распределения и построить её график.

Решение:

Объем выборки: $n=5+10+15+20=50$.

По свойству 5, имеем, что при $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значение $x

Значение $x

Значение $x

Таким образом, получаем:



Рисунок 2.

Построим график эмпирического распределения:



Рисунок 3.

Пример 2

Из городов центральной части России случайным образом выбрано 20 городов, для которых получены следующие данные по стоимости проезда в общественном транспорте: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Составить эмпирическую функцию распределения данной выборки и построить её график.

Решение:

Запишем значения выборки в порядке возрастания и посчитаем частоту каждого значения. Получаем следующую таблицу:



Рисунок 4.

Объем выборки: $n=20$.

По свойству 5, имеем, что при $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значение $x

Значение $x

Значение $x

Таким образом, получаем:



Рисунок 5.

Построим график эмпирического распределения:



Рисунок 6.

Оригинальность: $92,12\%$.

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис