Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Элементы математической статистики

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Элементы математической статистики
Элементы математической статистики
Определение 1

Математическая статистика -- раздел математики, изучающий математические приемы и методы обработки, систематизации и использования статистических данных для каких либо исследований.

Одно из основных понятий математической статистики понятие совокупности. Совокупности можно разделить на генеральную и выборочную.

Определение 2

Генеральная совокупность -- совокупность случайно обобранных объектов данного вида, над которыми проводят наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, проводимых в неизменных условиях при изучении одной случайной величины данного вида.

Определение 3

Выборочная совокупность -- часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

Одним из способов записи совокупностей -- запись ряда распределения частот, где $x_i$ -- варианта, $n_i$ -- частота данной варианты (таблица 1):

Ряд распределения частот.

Рисунок 1. Ряд распределения частот.

Также в математической статистике можно столкнуться с понятием относительной частоты, которая находится по формуле: $W_i=\frac{n_i}{n}$

В связи с этим можно построить ряд распределения относительной частоты (таблица 2).

Ряд распределения относительных частот.

Рисунок 2. Ряд распределения относительных частот.

По рядам распределения можно строить полигоны и гистограммы частот и относительных частот.

Определение 4

Полигон частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.

Определение 5

Гистограмма частот -- ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием -- частичными интервалами длины $h$ и высотами $\frac{n_i}{h}$.

Аналогично определяются понятия полигона и гистограммы относительных частот.

Еще одно важное понятие -- эмпирическая функция распределения.

Определение 6

Эмпирической функцией распределения $F_n(x)$ называется функция, которая определяет для каждого значения $x$ относительную частоту события $X \[F_n\left(x\right)=\frac{n_x}{n}\]

где $n_x$ - число вариант, меньших $x$, $n$ -- объем выборки.

Отметим также пару формул для нахождения несмещенных оценок числовых характеристик случайной величины.

  1. Несмещенная оценка математического ожидания:
  1. Несмещенная оценка дисперсии:
Пример 1

Из группы заводов одной из областей России случайным образом отобрано 30, по которым получены показатели основных фондов в миллионах рублей: 1, 2, 1, 3, 4, 1, 2, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 4, 2, 3, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 3.

  1. Составить дискретное статистическое распределение выборки.

  2. Найти объем выборки.

  3. Составить распределение относительных частот.

  4. Построить полигон частот.

  5. Составить и построить график эмпирической функции распределения.

  6. Найти несмещенные оценки числовых характеристик.

Решение:

  1. Построим таблицу распределения выборки. Для этого в первой строчки запишем все возможные различные значения выборки в порядке возрастания, а во второй строчке посчитаем для каждого такого значения частоту. Получим:



Рисунок 3.

  1. Объем выборки: $n=5+8+9+5+3=30$

  2. Посчитаем относительные частоты по формуле: $W_i=\frac{n_i}{n}$

Получим следующую таблицу распределения относительной частоты:



Рисунок 4.

Построим полигон частот по определению, обращаясь к таблице из пункта 1.



Рисунок 5.

Имеем при $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>5$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значение $x

Значение $x

Значение $x

Значение $x

Таким образом, получаем:



Рисунок 6.

Построим график эмпирического распределения:



Рисунок 7.

  1. Несмещенная оценка математического ожидания:
\[\overline{x_В}=\frac{\sum\limits^m_{i=1}{n_ix_i}}{n}=\frac{10+24+36+25+18}{30}=\frac{113}{30}\approx 3,77\]

\end{enumerate}

Несмещенная оценка дисперсии:

\[D_В=\overline{x^2_В}-({\overline{x_В})}^2=\frac{\sum\limits^m_{i=1}{n_ix^2_i}}{n}-({\overline{x_В})}^2=\frac{20+72+144+125+108}{30}-{\left(\frac{113}{30}\right)}^2\approx 1,42.\]