Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Вероятность попадания непрерывной величины в заданный интервал

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины / Вероятность попадания непрерывной величины в заданный интервал
Вероятность попадания непрерывной величины в заданный интервал

Пусть нам задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины. Тогда с её помощью мы можем найти вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(\alpha ,\beta )$.

Для начала вспомним несколько свойств функции распределения вероятности $F(x)$, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Свойство 1: Для любых $X$ выполняется равенство:

Сформулируем и докажем следующую теорему:

Теорема 1

Вероятность того, что непрерывная случайная величина $X$ примет значение из интервала $(\alpha ,\beta )$ равна значению определенного интеграла от $\alpha $ до $\beta $ плотности распределения $\varphi (x)$.

Доказательство.

Используя свойство 1, имеем:

\[P\left(\alpha \le XИспользуя формулу Ньютона-Лейбница, получим:



Рисунок 1.

Так как случайная величина $X$ непрерывна, то и функция распределения $F(x)$ также непрерывна. Следовательно, по свойству 2, получим:



Рисунок 2.

ч. т. д.

Геометрически данную теорему можно интерпретировать следующим образом: Вероятность попадания случайной непрерывной величины $X$ в интервал $(\alpha ,\beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми $y=\varphi \left(x\right),\ x=\alpha ,$ $x=\beta $ и $y=0$ (рис. 1).

Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$.

Рисунок 3. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$.

Следствие 1: Если плотность распределения $\varphi (x)$ - четная функция, а значения $\alpha \ и\ \beta $ равны по абсолютной величине (по модулю), причем $\alpha \ne \beta $, то вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ можно найти по формуле:



Рисунок 4.

Этот факт может быть легко показан геометрически:



Рисунок 5.

Очевидно, что $S_1=S_2$.

Используя геометрический смысл плотности распределения, и получаем, что



Рисунок 6.

Примеры задач на нахождение вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Пример 1

Функция распределения имеет вид:



Рисунок 7.

Найти вероятности попадания случайной величины в интервал $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$.

Решение: Очевидно, что функция $F(x)$ непрерывна на сей области определения (в том числе непрерывна справа на всем интервале $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$). Значит по свойству 2, получим



Рисунок 8.

Теперь, пользуясь свойством 1, получим:



Рисунок 9.

Ответ: $\frac{7}{32}$.

Пример 2

Плотность распределения задана в виде:



Рисунок 10.

Найти вероятности попадания случайной величины в интервал $(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{4})$.

Решение: Используя теорему 1, получим:



Рисунок 11.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{6}$.

Пример 3

Функция плотности распределения имеет вид:

\[\varphi \left(x\right)=\frac{1}{4x^2+4}\]

Построить график плотности распределения и найти вероятность попадания случайной величины в интервал $\left(-2,2\right).$

Решение: Построим график функции $\varphi \left(x\right)$:



Рисунок 12.

Функция $\varphi \left(x\right)$ четна, концы интервала $\left(-2,2\right)$ симметричны относительно начала координат, следовательно, по следствию 1, получаем:

\[P\left(-2Ответ: $\frac{1}{2}arctg2.$