Случайная величина -- величина, которая в испытании может принимать то или иное неизвестное заранее значение.
Пусть в мешке находятся 10 пронумерованных шариков. Вытаскивается 1 шарик. Тогда случайная величина может принимать значения от 1 до 10.
Пусть в классе 30 учеников. Тогда значение случайной величины количества учеников на первом уроке принимает значения от 1 до 30.
Случайная величина называется дискретной, если множество его значений не более чем счётно.
Случайная величина называется непрерывной, если она полностью заполняет какой-либо числовой промежуток.
Случайная величина называется смешанной, если она не является ни дискретной, ни непрерывной.
Закон распределения случайной величины -- соответствие между значениями дискретных случайных величин и их вероятностями.
Чаще всего закон распределения записывается в виде таблицы, которая называется рядом распределения.
Таблица 1. Ряд распределения случайной величины
Еще один способ задания закона распределения случайной величины -- построение графика функции распределения вероятностей.
Функция распределения вероятностей.
Функция распределения вероятностей (или накопленная частота) $F_{\xi }(x)$ случайной величины $\xi $ -- это функция, ставящая в соответствие любому значению $x$ величину вероятности события, то есть
\[F_{\xi }\left(x\right)=P\{\xiДалее индекс $\xi $ будем опускать.
Рассмотрим ряд задач по этой теме.
Найти функцию распределения случайной величины $X,$ заданную следующим рядом распределения и построить ее график.
Решение: Пусть $x\le 1$, тогда $F\left(x\right)=0$, так как выполнение неравенства $x 3$, тогда $F\left(x\right)=p_1+p_2+p_3=1$.
Получаем следующую функцию распределения вероятностей:
\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\le 1, \\ 0,2,\ если\ 1 3. \end{array} \right.\]Изобразим график полученной функции
Найти коэффициент $\alpha $ в функции распределения случайной величины, заданной выражением
\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\frac{11\pi }{6}. \end{array} \right.\]Решение.
При $x=\frac{7\pi }{6}$ функция распределения равна единице, следовательно, имеем
\[\alpha cos\left(\frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)+2=1,\] \[\alpha cos\pi =-1,\] \[\alpha =1.\]Функция имеет вид:
\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\frac{11\pi }{6}. \end{array} \right.\]Ответ. 1.
Плотность вероятности
Рассмотрим еще одно понятие, которое связано с понятием функции распределения вероятностей.
Пусть функция распределения вероятностей имеет непрерывную производную $F'\left(x\right)=\varphi (x)$. Функция $\varphi (x)$ называется плотностью вероятности.
Продолжительность срока реализации продукции имеет следующую плотность распределения:
\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{40000}{x^3},если\ x>200, \\ 0,\ если\ x\le 200. \end{array} \right.\]- Найти вероятность того, что продукция будет реализована позже 250 часов.
- Найти вероятность того, что продукция будет реализована позже 300, но не позже 500 часов.
Решение.
- Обозначим срок реализации товара через $X$.Так как $F'\left(x\right)=\varphi (x)$ и $P\left(x>250\right)=1-P\left(x \[F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (t)dt}=\int\limits^x_{200}{\frac{40000}{t^3}}dt=1-\frac{20000}{x^2}\] \[P\left(x>250\right)=1-1+\frac{20000}{62500}=0,24\]
- $P\left(300
