Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Функция распределения вероятностей случайной величины

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Функция распределения вероятностей случайной величины
Функция распределения вероятностей случайной величины
Определение 1

Случайная величина -- величина, которая в испытании может принимать то или иное неизвестное заранее значение.

Пример 1

Пусть в мешке находятся 10 пронумерованных шариков. Вытаскивается 1 шарик. Тогда случайная величина может принимать значения от 1 до 10.

Пример 2

Пусть в классе 30 учеников. Тогда значение случайной величины количества учеников на первом уроке принимает значения от 1 до 30.

Определение 2

Случайная величина называется дискретной, если множество его значений не более чем счётно.

Определение 3

Случайная величина называется непрерывной, если она полностью заполняет какой-либо числовой промежуток.

Определение 4

Случайная величина называется смешанной, если она не является ни дискретной, ни непрерывной.

Определение 5

Закон распределения случайной величины -- соответствие между значениями дискретных случайных величин и их вероятностями.

Чаще всего закон распределения записывается в виде таблицы, которая называется рядом распределения.

Таблица 1. Ряд распределения случайной величины

Ряд распределения случайной величины

Еще один способ задания закона распределения случайной величины -- построение графика функции распределения вероятностей.

Функция распределения вероятностей.

Определение 6

Функция распределения вероятностей (или накопленная частота) $F_{\xi }(x)$ случайной величины $\xi $ -- это функция, ставящая в соответствие любому значению $x$ величину вероятности события, то есть

\[F_{\xi }\left(x\right)=P\{\xi

Далее индекс $\xi $ будем опускать.

Функция распределения вероятностей

Рассмотрим ряд задач по этой теме.

Задача 1

Найти функцию распределения случайной величины $X,$ заданную следующим рядом распределения и построить ее график.

Функция распределения случайной величины X

Решение: Пусть $x\le 1$, тогда $F\left(x\right)=0$, так как выполнение неравенства $x 3$, тогда $F\left(x\right)=p_1+p_2+p_3=1$.

Получаем следующую функцию распределения вероятностей:

\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\le 1, \\ 0,2,\ если\ 1 3. \end{array} \right.\]

Изобразим график полученной функции

Функция распределения вероятностей

Задача 2

Найти коэффициент $\alpha $ в функции распределения случайной величины, заданной выражением

\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\frac{11\pi }{6}. \end{array} \right.\]

Решение.

При $x=\frac{7\pi }{6}$ функция распределения равна единице, следовательно, имеем

\[\alpha cos\left(\frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{6}\right)+2=1,\] \[\alpha cos\pi =-1,\] \[\alpha =1.\]

Функция имеет вид:

\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ если\ x\frac{11\pi }{6}. \end{array} \right.\]

Ответ. 1.

Плотность вероятности

Рассмотрим еще одно понятие, которое связано с понятием функции распределения вероятностей.

Определение 7

Пусть функция распределения вероятностей имеет непрерывную производную $F'\left(x\right)=\varphi (x)$. Функция $\varphi (x)$ называется плотностью вероятности.

Задача 3

Продолжительность срока реализации продукции имеет следующую плотность распределения:

\[F\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{40000}{x^3},если\ x>200, \\ 0,\ если\ x\le 200. \end{array} \right.\]
  1. Найти вероятность того, что продукция будет реализована позже 250 часов.
  2. Найти вероятность того, что продукция будет реализована позже 300, но не позже 500 часов.

Решение.

  1. Обозначим срок реализации товара через $X$.Так как $F'\left(x\right)=\varphi (x)$ и $P\left(x>250\right)=1-P\left(x \[F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (t)dt}=\int\limits^x_{200}{\frac{40000}{t^3}}dt=1-\frac{20000}{x^2}\] \[P\left(x>250\right)=1-1+\frac{20000}{62500}=0,24\]
  2. $P\left(300