Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Простейший поток событий

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Простейший поток событий
Содержание статьи

В работах по исследованию и обеспечению надежности большое место занимают статистические методы исследований и вероятностные оценки надежности. Это обусловлено тем, что события и величины, используемые в теории надежности, носят, как правило, случайный характер. Отказы объектов вызываются большим числом причин, связь между которыми установить не возможно, поэтому отказы изделий принадлежат к категории случайных событий. Время до возникновения отказа может принимать различные значения в пределах некоторой области возможных значений и принадлежит к категории случайных величин.

Определение 1

Случайное событие -- это событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта.

Определение 2

Вероятность случайного события -- это количественная характеристика случайного события. Она представляет собой теоретическую частоту событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при повторении опыта в данных условиях.

Определение 3

Частота случайного события -- статистическая вероятность события -- отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.

Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории надежности, являются:

  • событие, заключающееся в том, что на интервале времени от $0$ до $t$ объект непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается $P(t)$;

  • событие, заключающееся в том, что на интервале времени от $0$ до $t$ изделие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события обозначается $Q(t)$;

  • событие, заключающееся в том, что работоспособная к моменту времени $t$ система перейдет за время $\Delta t$ из состояния работоспособности (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события

Определение 4

Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий.

Определение 5

Ординарный поток событий - поток, при котором вероятность попадания двух событий на один и тот же малый участок времени $\Delta t$ пренебрежительно мала (в один и тот же момент времени может произойти только одно событие).

Определение 6

Поток без последействия - поток, при котором будущее развитие процесса появления событий не зависит от того, как этот процесс протекал в прошлом.

Определение 7

Стационарный поток - поток, параметры которого не зависят от времени, т.е. плотность потока событий (среднее число событий в единицу времени) является постоянной.

Определение 8

Поток, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком или стационарным пуассоновским потоком.

Определение 9

Нестационарный пуассоновский поток - это поток, обладающий свойством ординарности и отсутствием последействия, но не обладающий свойством стационарности.

Простейший поток находит широкое применение в теории надежности ввиду следующих факторов:

  • имеется предельная теорема, согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любыми законами распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков;

  • практика исследования потоков отказов, потоков восстановлений и других потоков, имеющих место при исследовании надежности, подтверждает обоснованность предположений о широкой распространенности простейших потоков.

Определение 10

Случайная величина -- величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (заранее не известно, какое именно). Она может быть либо дискретной (число отказов за время $t$, число отказавших изделий при испытаниях заданного количества образцов и т.п.), либо непрерывной (время работы объекты до отказа, время восстановления работоспособности). Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины -- соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями.

Экспоненциальный закон

Функция распределения случайной величины:

где $\lambda $ - интенсивность (среднее число событий в единицу времени) появления случайного события. Далее под $t$ будем подразумевать время до возникновения отказа.

Функция плотности распределения времени до отказа:

где

это вероятность того, что за время $t$ отказ не возникнет.

Интенсивность отказов $\lambda (t)$ изменяется во времени следующим образом:

Таким образом, признаком экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки аппаратуры закончился, а период износа и старения еще не начался. Также постоянной становится $\lambda $ системы, если отказы вызываются отказами большого числа комплектующих элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта.

Этими факторами, а также тем, что экспоненциальное распределение случайной величины существенно упрощает расчеты надежности, не вызывая значительных погрешностей, обусловлено широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

На рисунке 1 приведены значения интенсивностей отказов для некоторых распространенных элементов ИС.



Рисунок 1.

Закон Пуассона. Вероятность того, что на интервале времени $t$ произойдет $n$ случайных событий (отказов) определяется формулой:

где $a=\lambda t$ - среднее число отказов на интервале времени $t$.

Время между двумя соседними событиями (отказами) подчиняется экспоненциальному распределению с параметром $\lambda $, т.е. вероятность того, что на участке времени $\tau $, следующим за одним из отказов, не появится ни одного отказа, равна:

Пример 1

Определить вероятность того, что за время $t=100$ч произойдет 0-2 отказа, если $\lambda =0,025$.

Решение:

  1. Среднее число отказов за время $t$: $a=\lambda t=2,5$.

  2. Вероятность отсутствия отказов $P_{0} (100)=e^{-2,5} =0,082.$

  3. Вероятность одного отказа: $P_{1} (100)=\frac{(2,5)^{1} }{1} e^{-2,5} =0,205$.

  4. Вероятность двух отказов: $P_{2} (100)=\frac{(2,5)^{2} }{2} e^{-2,5} =0,256.$

comments powered by HyperComments