Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Равномерное распределение вероятностей

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Равномерное распределение вероятностей

Напомним определение плотности вероятности.

Определение 1

Плотность распределения (плотность вероятности) $\varphi \left(x\right)$ -- это производная функции распределения непрерывной случайной величины.

Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей:

Определение 2

Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть:



Рисунок 1.

Найдем значение константы $\ C$, используя следующее свойство плотности распределения: $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=1$

Получим:

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=\int\limits^a_{-\infty }{0dx}+\int\limits^b_a{Cdx}+\int\limits^{+\infty }_b{0dx}=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \[C\left(b-a\right)=1\] \[C=\frac{1}{b-a}\]

Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:



Рисунок 2.

График имеет следующий вид (рис. 1):

Плотность равномерного распределения вероятности

Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности

Функция равномерного распределения вероятностей

Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.

Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

  1. При $x ≤ a$, по формуле, получим:
  1. При $a
  1. При $x> 2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:



Рисунок 4.

График имеет следующий вид (рис. 2):

Функция равномерного распределения вероятности.

Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.

Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Пример 1

Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.

  1. Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.

  2. Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.

  3. Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.

  4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Решение.

  1. Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.

Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:



Рисунок 6.

По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:



Рисунок 7.

  1. Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$

Получаем:

\[P\left(6
  • Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(0,5\right).$
  • Получаем: $P\left(0

    1. Математическое ожидание: $M\left(X\right)=\frac{a+b}{2}=\frac{9}{2}=4,5$.

    Дисперсия: $D\left(X\right)=\frac{{(b-a)}^2}{12}=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}$.

    Среднее квадратическое отклонение: $\sigma \left(X\right)=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$