Равномерное распределение вероятностей

Все предметы / Математика / Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины / Равномерное распределение вероятностей

Содержание статьи

1. Функция равномерного распределения вероятностей

2. Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

3. Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Напомним определение плотности вероятности.

Определение 1

Плотность распределения (плотность вероятности) $\varphi \left(x\right)$ -- это производная функции распределения непрерывной случайной величины.

Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей:

Определение 2

Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть:

Рисунок 1.

Найдем значение константы $\ C$, используя следующее свойство плотности распределения: $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=1$

Получим:

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=\int\limits^a_{-\infty }{0dx}+\int\limits^b_a{Cdx}+\int\limits^{+\infty }_b{0dx}=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \[C\left(b-a\right)=1\] \[C=\frac{1}{b-a}\]

Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:

Рисунок 2.

График имеет следующий вид (рис. 1):

Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности

Функция равномерного распределения вероятностей

Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.

Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

При $x ≤ a$, по формуле, получим:

При $a

При $x> 2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 4.

График имеет следующий вид (рис. 2):

Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.

Готовые работы на аналогичную тему

Курсовая работа Равномерное распределение вероятностей 470 ₽ Реферат Равномерное распределение вероятностей 230 ₽ Контрольная работа Равномерное распределение вероятностей 220 ₽

Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta )$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Пример 1

Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.

Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.
Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.
Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

Решение.

Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.

Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:

Рисунок 6.

По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:

Рисунок 7.

Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$

Получаем:

\[P\left(6

Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(0,5\right).$

Получаем: $P\left(0