Сущность парадокса Бертрана
Некоторые задачи по теории вероятности требуют геометрического подхода, например, попадание орудия в мишень. В таких задачах предполагается, что все случайные точки распределены равномерно на некоторой области. Степень вероятности попадания в произвольную часть данной области пропорциональна площади, т.е. объему или длине. Из-за таких вероятностей возникает ряд парадоксов. К примеру, шансы попадания в центр мишени равны нулю. Но с другой стороны, в эту точку можно попасть. Из этого следует, что необходимо различать события, которые происходят с нулевой вероятностью, и невозможные события.
Парадокс Бертрана является проблемой классического определения теории вероятностей. Ж. Бертран описал данный парадокс в своей работе как пример того, что невозможно четко определить вероятность, пока не выбран метод или механизм определения случайной величины.
Статья: Парадокс Бертрана
Для заданной окружности выбирается хорда случайным образом. Необходимо определить вероятность того, что данная хорда длиннее, чем сторона правильного треугольника, который вписан в окружность. Согласно парадоксу, такая вероятность определяется неоднозначно, поскольку различные методы дают разные результаты. Бертран рассмотрел три метода решения, которые описаны ниже (рисунок 1).
Рисунок 1. Методы решения в парадоксе Бертрана. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Первый метод. В круге случайным образом выбирается точка. Данная точка определяет одну единственную хорду, для которой она является серединой. Эта хорда будет длиннее стороны правильного треугольника только в том случае, если ее середина расположена внутри круга, который вписан в треугольник. Радиус такого круга равняется 1/2 радиуса исходного, таким образом, площадь вписанного круга равна 1/4 исходного. Из этого следует, что вероятность нахождения внутри вписанного круга случайно выбранной точки равна 1/4.
Второй метод. По соображениям симметрии считается, что один конец хорды – это фиксированная произвольная точка, расположенная на окружности. Пускай такой точкой будет вершина треугольника, вписанного в окружность. Другой конец хорды выбирается случайно. Вершины треугольника разделяют окружность на три одинаковые дуги, а случайная хода будет длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает данный треугольник. Таким образом, искомая вероятность равна 1/3.
Третий метод. Равномерно и случайным образом выбирается точка на радиусе окружности, а хорда располагается перпендикулярно данному радиусу и проходит через определенную нами точку. В этом случае случайная хорда будет длиннее стороны треугольника, вписанного в круг, если случайная точка находится на половине радиуса, расположенной ближе к центру. По соображениям симметрии не имеет значения, какой радиус выбран для построения, а искомая вероятность равняется 1/2.
С одной стороны, рассуждения во всех трех рассмотренных случаях верны, но при этом вероятность одного и того же события разная. Это объясняется тем, что рассматривались три совершенно разные задачи, т.е. мерой в трех случаях были различные множества:
- В первом методе мерой множества являлась площадь, на которой располагались рассматриваемые точки, и вычислялось отношение этих двух площадей.
- Во втором методе мерой множества точек, которые попадали в определенный угол, была величина соответствующего угла, а вычислялось отношение двух углов.
- В третьем же методе хорда «перемещалась» по диаметру и, рассматривая отрезок в качестве меры множества точек, расположенных на нем, вычислялось отношение длины этих отрезков.
Классическое решение и решение Джейнса
Классическое решение зависит от метода, с помощью которого выбрана хорда. Когда метод выбора задан, только тогда у проблемы есть четкое определенное решение. Методы выбора не уникальны, поэтому единственного решения не существует. Три решения, которые были представлены Бертраном, соответствовали различным методам выбора, а отсутствие дополнительных данных не является основанием выбора какого-либо одного метода.
Э. Джейнс в своей работе предложил метод решения парадокса Бертрана, который бал основан на принципе неопределенности: не обязательно использовать данные, которые не даны по условию. Джейнс заметил, что в проблеме Бертрана положение или размер круга не задается, поэтому утверждал, что в данном случае любые объективные и точные решения не должны зависеть от размера и положения.
Парадокс Бертрана в экономике
В коммерции и экономике парадокс Бертрана описывает ситуацию, когда два игрока достигают равновесия Нэша. Другими словами, две фирмы устанавливают цену, которая равна предельным издержкам.
Основой парадокса Бертрана является предпосылка, которая состоит в том, что моделях, подобных модели конкуренции Курно, увеличение количества предприятий связано с приближением цен к величине предельных издержек. В данных моделях парадокс Бертрана существует в олигополии небольшого числа предприятий, которые имеют положительную прибыль, устанавливая цены выше себестоимости.
Например, два предприятия А и В продают однородную продукцию, у каждого из которых одинаковая стоимость производства, а также распределения. Таким образом, покупатели отдают предпочтение тому или иному товару, основываясь только на его стоимости. Это значит, что спрос будет бесконечно эластичным по стоимости. Ни предприятие А, ни В не установят более высокую стоимость, чем другие, так как это станет причиной нарушения парадокса Бертрана.
Также может присутствовать и дополнительное равновесие в парадоксе Бертрана при смешанной стратегии и положительной экономической прибыли, если монопольная сумма бесконечна. При конечной прибыли невозможна положительная прибавка, поскольку существует ценовая конкуренция.
На реальной жизни парадокс Бертрана довольно редко встречается, так как продукты в большинстве случаев дифференцируются другим способом, помимо цены. У фирм имеются ограничения на собственные возможности по производству продукции и ее распространению. Поэтому у двух схожих предприятий редко наблюдаются одинаковые затраты.
