Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Обыкновенные дроби. Делимость чисел, делители и кратные

Все предметы / Математика / Обыкновенные дроби. Делимость чисел, делители и кратные
Содержание статьи

Понятие делимости

Понятие делимости является одним из основных в арифметике и теории чисел.

Определение 1

Число $a$ делится на $b$, если существует такое число $q$, что выполняется:

$a = b\cdot q$,

где $a, b, q$ – целые числа, $b≠0$.

$b$ называют делителем числа $a$, a – кратным числа $b$, $q$ – частным.

Также принято говорить «$b$ делит $a$» или «$a$ делится на $b$ нацело».

Не для каждой пары целых чисел $a$ и $b$ существует такое целое число $q$, когда выполняется равенство $a=b\cdot q$. Тогда говорят «$a$ не делится на $b$» (при этом имеют в виду, что $a$ не делится на $b$ нацело). В таких случаях можно прибегнуть к делению целых чисел с остатком.

Рассмотрим понятие делимости на примерах.

Пример 1

Целое число $39$ делится на целое число $13$, т.к. $39=13\cdot 3$. Можно также сказать «число $13$ делит $39$».

В данном случае целое число $39$ является кратным числа $13$, а число $13$ – делителем числа $39$.

Пример 2

Целое число $27$ не делится на число $4$, т.к. не существует такого целого числа $q$, для которого выполняется равенство $27=4\cdot q.$

Т.е. в данном случае число $27$ не является кратным числа $4$, а число $4$ – делителем числа $27$.

Для удобства описания делимости принято использовать некоторые обозначения:

  • $«⋮»$ – $3$ точки, расположенные по вертикали – обозначает тот факт, что $a$ кратно $b$. Записывают $a⋮b$. Например, запись $51⋮3$ означает, что целое число $51$ делится на $3$.
  • $«|»$, «\» – вертикальная черта или левый слэш – обозначает тот факт, что число $b$ делит число $a$. Записывают $b|a$ или $b$\$a$. Например, запись $3|51$ означает, что число $3$ делит $51$.
  • зачеркнутые $3$ точки, расположенные по вертикали



    Рисунок 1.

    – обозначают тот факт, что $a$ не кратно $b$. Например,



    Рисунок 2.

    – «$38$ не делится на $5$, $38$ не является кратным числа $5$, $38$ не кратно $5$».


  • Рисунок 3.

    – зачеркнутая вертикальная черта – обозначают, что $b$ не делит $a$. Например,



    Рисунок 4.

    – «$5$ не делит число $38$».

Готовые работы на аналогичную тему

Свойства делимости

  1. Любое целое число делится само на себя, на противоположное себе, на $1$ и $–1$:

    • $a⋮a$ – свойство рефлексивности

    • $a⋮(-a)$

    • $a⋮1$

    • $a⋮(-1)$

  2. Нуль делится на любое целое число:

    • $0⋮a$

    Частным случаем также является делимость нуля на нуль:

    • $0⋮0$
    Замечание 1

    Необходимо отметить, что другое целое число, не равное нулю, на нуль не делится:



    Рисунок 5.

  3. Если целое число $a$ делится на целое число $b$ и выполняется условие $\left|a\right|

  4. Если целое число $a\ne 0$ и $a\vdots b$, то $\left|a\right|\ge \left|b\right|$. Данное свойство делимости вытекает из предыдущего.

  5. Единица имеет только два делителя -- целые числа $(1)$ и $(-1)$.

  6. Чтобы целые числа $a\vdots b$ необходимо и достаточно, чтобы $\left|a\right|\vdots \left|b\right|$.

    Следствие 1.

    Если $a\vdots b$, то $a\vdots \left(-b\right);$

    $a$, $b$-- целые числа.

    Следствие 2.

    Если $a\vdots b$, то $\left(-a\right)\vdots b;$

    $a$, $b$-- целые числа.

  7. Свойство транзитивности:

    Если $a\vdots m$ и $m\vdots b$, то $a\vdots b$;

    $a, b, m$-- целые числа.

  8. Свойство антисимметричности:

    Если $a\vdots b$ и $b\vdots a$, то $a=b$ или $a=-b$;

    $a, b$-- целые числа.

  9. Для любого целого числа $b\ne 0$ найдется такое целое число $a\ne b$, которое делится на $b$.

  10. Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$, то $\left(a+b\right)\vdots c$,

    $a, b, c$ -- целые числа.

  11. Если $a\vdots b$, то $a\cdot k\vdots b$,

    $a, b, k$-- целые числа.

Делители

Целое число $b$ называют делителем целого числа $a$, если число $a$ делится на $b$ без остатка.

Целое число $b$ называют делителем целого числа $a$, если существует такое целое число $q$, что выполняется равенство $a=b\cdot q$.

Пример 3

Число $-3$ является делителем числа $27$, т.к. выполняется равенство $27=\left(-3\right)\cdot \left(-9\right)$. Целое число $27$ имеет еще несколько делителей: $-27$, $-9$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $9$, $27$. Число, например, $4$ не является делителем числа $27$, т.к. не существует такого числа $q$, чтобы выполнялось равенство $27=4\cdot q$.

Кратные

Целое число $a$ называется кратным целого числа $b$, если оно делится на $b$ без остатка.

Целое число $a$ называется кратным целого числа $b$, если существует такое целое число $q$, что выполняется равенство $a=b\cdot q$.

Пример 4

Число $20$ является кратным числа $-4$, т.к. выполняется равенство $20=\left(-4\right)\cdot \left(-5\right)$. Целое число $-4$ имеет другие кратные ему целые числа: $0, 4, -4, 8, -8, 12, -12$ и т.д. Число $6$ не является кратным числа $-4$, т.к. $6$ не делится на $-4$ без остатка, т.е. не существует такое целое число $q$, что выполняется равенство $6=(-4)\cdot q$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис