Вы будете перенаправлены на Автор24
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
К простейшим задачам в координатах относятся следующие задачи:
Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.
Нахождение координат середины отрезка.
Вычисление длины вектора.
Вычисление расстояние между двумя точками.
Рассмотрим далее решение этих задач.
Перед тем, как ввести данную задачу напомним понятие радиус вектора данной точки.
Пусть точка $M$ дана в заданной системе координат с началом в точке $O$. Тогда вектор $\overrightarrow{OM}$ называется радиус-вектором для точки $M$.
Напомним, что при этом, если $M=\{x,y\}$ в данной системе координат, то вектор $\overrightarrow{OM}=\{x,y\}$ в этой системе координат.
Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}.$
Решение.
Рассмотрим рисунок по данной задаче (Рис. 1).
Рисунок 1. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
По определению разности двух векторов, имеем
\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\]Следовательно,
\[\overrightarrow{AB}=\left\{x_2,\ y_2\right\}-\left\{x_1,\ y_1\right\}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}\]Ответ: $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}$.
Ничего непонятно?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. $C$ -- середина отрезка $AB$. Найти координаты точки $C.$
Решение.
Обозначим координаты точки $C$ через $\left\{x,\ y\right\}$. Рассмотрим рисунок 2.
Рисунок 2. Середина отрезка
Из правила параллелограмма, получим
\[\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\]Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OA}\ и\ \overrightarrow{OB}$ - радиус-векторы точек $C,\ A\ и\ B$ соответственно, то получим
\[\overrightarrow{OC}=\left\{x,\ y\right\},\ \ \overrightarrow{OA}=\left\{x_1,\ y_1\right\},\ \ \overrightarrow{OB}=\{x_2,\ y_2\}\]Следовательно,
\[x=\frac{x_1+x_2}{2},\ y=\frac{y_1+y_2}{2}\]Ответ: $C=\left\{\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right\}$
Дан вектор $\overrightarrow{a}$ с координатами $\left\{x,\ y\right\}$. Найти длину этого вектора.
Решение.
Рассмотрим систему координат $xOy$. Отложим от ее начала координат вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $A$ перпендикуляры к осям координат $OA_1$ и $OA_2$ (рис. 3).
Рисунок 3. Вычисление длины вектора
Так как вектор $\overrightarrow{OA}$ - радиус вектор точки $A$, то $A=\left\{x,\ y\right\}$, следовательно,
\[OA_1=x,\ OA_2=y\]Найдем теперь длины вектора по теореме Пифагора:
\[{|\overrightarrow{a}|}^2={OA_1}^2+{OA_2}^2\] \[{|\overrightarrow{a}|}^2=x^2+y^2\] \[\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}\]Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.
Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно.Найти $d$ -- расстояние между точками $A$ и $B$ через их координаты.
Решение.
Рассмотрим рисунок 4.
Рисунок 4. Расстояние между точками
Используя задачу 1, получим, что вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты
\[\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}\]Найдем длину данного вектора. По задаче 3, имеем
\[d=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\]Ответ: $d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.