Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Простейшие задачи в координатах

Все предметы / Математика / Метод координат / Простейшие задачи в координатах

К простейшим задачам в координатах относятся следующие задачи:

  1. Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.

  2. Нахождение координат середины отрезка.

  3. Вычисление длины вектора.

  4. Вычисление расстояние между двумя точками.

Рассмотрим далее решение этих задач.

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Перед тем, как ввести данную задачу напомним понятие радиус вектора данной точки.

Определение 1

Пусть точка $M$ дана в заданной системе координат с началом в точке $O$. Тогда вектор $\overrightarrow{OM}$ называется радиус-вектором для точки $M$.

Напомним, что при этом, если $M=\{x,y\}$ в данной системе координат, то вектор $\overrightarrow{OM}=\{x,y\}$ в этой системе координат.

Пример 1

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}.$

Решение.

Рассмотрим рисунок по данной задаче (Рис. 1).

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Рисунок 1. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

По определению разности двух векторов, имеем

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\]

Следовательно,

\[\overrightarrow{AB}=\left\{x_2,\ y_2\right\}-\left\{x_1,\ y_1\right\}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}\]

Ответ: $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}$.

Координаты середины отрезка

Пример 2

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. $C$ -- середина отрезка $AB$. Найти координаты точки $C.$

Решение.

Обозначим координаты точки $C$ через $\left\{x,\ y\right\}$. Рассмотрим рисунок 2.

Середина отрезка

Рисунок 2. Середина отрезка

Из правила параллелограмма, получим

\[\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\]

Так как векторы $\overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OA}\ и\ \overrightarrow{OB}$ - радиус-векторы точек $C,\ A\ и\ B$ соответственно, то получим

\[\overrightarrow{OC}=\left\{x,\ y\right\},\ \ \overrightarrow{OA}=\left\{x_1,\ y_1\right\},\ \ \overrightarrow{OB}=\{x_2,\ y_2\}\]

Следовательно,

\[x=\frac{x_1+x_2}{2},\ y=\frac{y_1+y_2}{2}\]

Ответ: $C=\left\{\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right\}$

Готовые работы на аналогичную тему

Вычисление длины вектора по его координатам

Пример 3

Дан вектор $\overrightarrow{a}$ с координатами $\left\{x,\ y\right\}$. Найти длину этого вектора.

Решение.

Рассмотрим систему координат $xOy$. Отложим от ее начала координат вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $A$ перпендикуляры к осям координат $OA_1$ и $OA_2$ (рис. 3).

Вычисление длины вектора

Рисунок 3. Вычисление длины вектора

Так как вектор $\overrightarrow{OA}$ - радиус вектор точки $A$, то $A=\left\{x,\ y\right\}$, следовательно,

\[OA_1=x,\ OA_2=y\]

Найдем теперь длины вектора по теореме Пифагора:

\[{|\overrightarrow{a}|}^2={OA_1}^2+{OA_2}^2\] \[{|\overrightarrow{a}|}^2=x^2+y^2\] \[\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}\]

Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.

Расстояние между двумя точками

Пример 4

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно.Найти $d$ -- расстояние между точками $A$ и $B$ через их координаты.

Решение.

Рассмотрим рисунок 4.

Расстояние между точками

Рисунок 4. Расстояние между точками

\[\ d=|\overrightarrow{AB}|\]

Используя задачу 1, получим, что вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет координаты

\[\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}\]

Найдем длину данного вектора. По задаче 3, имеем

\[d=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\]

Ответ: $d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис