Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Векторы, понятие вектора, равенство векторов

Содержание статьи

Понятие вектора

Иногда, к примеру, в физике, для характеристики некоторых величин необходимо не только их числовое значение, но и направление (скорость, ускорение, сила...). Такие величины называются векторными величинами или коротко векторами. Напомним, что величины, не требующие направления, называются скалярными величинами.

Для введения понятия геометрического вектора будем использовать понятие отрезка. Введем следующее определение.

Определение 1

Граничные точки отрезка - это концы отрезка.

Отрезок может иметь два направления. Для обозначения направления будем называть одну граничную точку отрезка началом, а другую концом. Направление будет указываться от начала отрезка к его концу.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком называется отрезок, для которого указано, какая из граничных точек считается началом, а какая концом данного отрезка.

Обозначение: $\overrightarrow{AB}$ - вектор $AB$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$.

Также вектор может обозначаться одной маленькой буквой: $\overrightarrow{a}.$

Примеры векторов: а) вектор $\overrightarrow{a}$; б) вектор $\overrightarrow{AB}$.

Рисунок 1. Примеры векторов: а) вектор $\overrightarrow{a}$; б) вектор $\overrightarrow{AB}$.

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Нулевым вектором называется любая точка плоскости.

Обозначение: $\overrightarrow{0}$.

Определение 4

Длиной или модулем вектора $\overrightarrow{a}$ называется длина отрезка $a.$

Обозначение: $|\overrightarrow{a}|$

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 1

Отметим, что длина нулевого вектора равна нулю: $\left|\overrightarrow{0}\right|=0$.

Равенство векторов

Для введения определения равных векторов для начала нужно ввести несколько других понятий.

Определение 5

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они принадлежат одной прямой или расположены на параллельных прямых (рис.2).

Коллинеарные векторы

Рисунок 2. Коллинеарные векторы

Определение 6

Ненулевые векторы называются сонаправленными, если они:

  1. Коллинеарны.

  2. Направлены в одну и туже сторону (рис. 3).

Сонаправленные векторы

Рисунок 3. Сонаправленные векторы

Обозначение: $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$

Определение 7

Ненулевые векторы называются противоположно направленными, если они:

  1. Коллинеарны.

  2. Направлены в разные стороны (рис. 4).

Противоположно направленные векторы

Рисунок 4. Противоположно направленные векторы

Обозначение: $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$

Введем теперь непосредственно определение равных векторов.

Определение 8

Векторы называются равными, если:

  1. Они являются сонаправленными;

  2. Они имеют равные длины.

То есть, если $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$ и $\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|$, то $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$ (рис. 5).

Равные векторы

Рисунок 5. Равные векторы

Примеры задач на понятие вектора

Пример 1

Найти длину векторов, если одна клетка имеет площадь $1\ {см}^2$(рис. 6).



Рисунок 6.

Решение.

Так как клетка имеет площадь $1\ {см}^2$, то очевидно, что

\[\left|\overrightarrow{b}\right|=2\] \[\left|\overrightarrow{c}\right|=3\]

Длину вектора $\overrightarrow{a}$ найдем с помощью теоремы Пифагора. Получим:

\[{|\overrightarrow{a}|}^2=3^2+2^2\] \[{|\overrightarrow{a}|}^2=9+4\] \[{|\overrightarrow{a}|}^2=13\] \[\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{13}\]

Ответ: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{13}$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$, $\left|\overrightarrow{c}\right|=3$.

Пример 2

Найти равные векторы (рис 7).



Рисунок 7.

Решение.

Используя определение 8, видим, что $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{c}$ и $\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{c}|$, следовательно, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$

Ответ: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис