Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Как найти координаты вектора

Предварительные сведения

Здесь мы ограничимся двумерным случаем. Введение понятия для трехмерного случая проводится аналогично. Для того, чтобы ввести понятие координат вектора сначала введем и докажем следующие лемму и теорему.

Лемма 1: Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны, и вектор $\overrightarrow{a}$ не является нулевым, то существует действительное число $k$, такое что выполняется равенство$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$

Доказательство.

Возможны два случая:

  1. $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$

    Обозначим число $k$ следующим образом: $k=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены, а $k\ge 0$, то векторы $k\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ сонаправлены. Далее, имеем, что

    \[\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|\]

    Из этого всего следует, что $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

  2. $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$

    Обозначим число $k$ следующим образом: $k=-\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ противоположно направленные, а $k \[\left|k\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}|\]

    Из этого всего следует, что $\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$.

Лемма доказана.

Теорема 1

Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом:

\[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]

Доказательство.

Существование: Докажем, что такое разложение имеет место. Здесь возможны два случая:

  1. Вектор $\overrightarrow{c}$ коллинеарен (к примеру) вектору $\overrightarrow{b}$.

    По лемме 1, будем иметь

    \[\overrightarrow{c}=n\overrightarrow{b}\]

    Значит, если число $m=0$, то получим

    \[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]
  2. Вектор $\overrightarrow{c}$ не коллинеарен векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

    Возьмем произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$. Пусть Проведем прямую $CD||OB$ (рис. 1)

    Иллюстрация теоремы 1

    Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

    По правилу треугольника для сложения векторов, получим

    \[\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}\]

    По построению, получаем что векторы $\overrightarrow{OD}||\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{DC}||\overrightarrow{b}$, следовательно, по лемме 1, имеем

    \[\overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{DC}=n\overrightarrow{b}\]

    Значит

    \[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\]

Готовые работы на аналогичную тему

Единственность: Предположим противное, что помимо разложения$\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ существует разложение $\overrightarrow{c}=m'\overrightarrow{a}+n'\overrightarrow{b}$. Вычтем эти два равенства из друг друга:

Получаем систему:



Рисунок 2.

Следовательно, разложение единственно.

Теорема доказана.

Координаты вектора

Рассмотрим далее систему координат. От начала координат $O$ в направлении оси $Ox$ отложим вектор $\overrightarrow{i}$, а в направлении оси $Oy$ отложим вектор $\overrightarrow{j}$, длины которых равны единице.

Определение 1

Векторы $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ называются координатными векторами.

Так как векторы $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$ не коллинеарны то, по теореме 1, любой вектор можно разложить в виде $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}$.

Определение 2

Коэффициенты разложения вектора $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{i}+n\overrightarrow{j}$ называются координатами данного вектора в данной системе координат, то есть

\[\overrightarrow{c}=\{m,\ n\}\]

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме векторов: Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство.

Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x_1,\ y_1\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{x_2,\ y_2\}$, тогда

Следовательно

Теорема доказана.

Теорема 3

Теорема о разности векторов: Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.

Доказательство.

Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x_1,\ y_1\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{x_2,\ y_2\}$, тогда

Следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Теорема о произведении вектора на число: Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.

Доказательство.

Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{x,\ y\right\}$, тогда $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+\ y\overrightarrow{j}.$

Следовательно

Теорема доказана.

Пример задачи на нахождение координат вектора

Пример 1

Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{3,\ 4\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{2,\ -1\}$. Найти $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ и $3\overrightarrow{a}$.

Решение.

\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left\{3+2,\ 4-1\right\}=\{5,\ 3\}\] \[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left\{3-2,\ 4+1\right\}=\{1,\ 5\}\] \[3\overrightarrow{a}=\left\{3\cdot 3,3\cdot 4\right\}=\{9,12\}\]
Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи

Автор статьи

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис