В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.
Натуральные числа
Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.
Противоположные числа
Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.
Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.
Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.
Число нуль противоположно самому себе.
Целые числа
Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.
Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.
Обозначают целые числа $Z.$
Дробные числа
Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.
Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.
Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
Рациональные числа
Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.
Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.
Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.
Например,
Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.
Множество рациональных чисел обозначается $Q$.
В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь
Иррациональные числа
В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.
Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x^2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.
Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.
Такие числа называются иррациональными.
Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.
Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $
При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.
Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:
-
$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$
-
$\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$
Решениею
-
$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$
-
$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$
На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.
Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).
Действительные числа
Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.
Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$
Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.
При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила
- при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
- при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
- при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным
Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.
